Isı İletim Denklemi Kurulumu

[TruvaGame]

ROHAN2 WORLD 1-120 TR TİPİ OFFICIAL YOHARA, BALATHOR VE AMON! 80. GÜNÜNDE! +10.000 ONLİNE! HİLE VE BOT %100 ENGELLİ HEMEN TIKLA!

Gridin içinde yer alan düğüm (node) noktalardaki sıcaklık değerlerini 0°C veya herhangi bir sıcaklık değeri olarak atamak başlangıç koşulu için yeterli olmaktadır. Isı iletim denkleminin yukarıda belirtilen başlangıç ve sınır koşulları altında çözülebilmesi için öncelikle belirli bir yeraltı modeline ve bu modelde yer alan jeolojik birimlere ait ısıl parametrelerin (ısı iletim katsayısı, hacim başına ısı üretimi, vb.) belirlenmesine ihtiyaç vardır. Bunlar genellikle yerbilimleri içindeki farklı disiplinlerin kendilerine özgü yöntemleri kullanarak yapacakları ortak çalışmalarla belirlenmektedir. Sonlu farklar yöntemi ile ısı transferi modellemesinin ilk aşaması eldeki yeraltı modelinin belirlenecek grid aralıklarıyla yatay ve düşey yönlerde ayrıklaştırılarak sonlu farklar gridinin oluşturulmasıdır. Yatay (Dx) ve düşey (Dz) yöndeki grid aralıklarının seçiminde dikkat edilmesi gereken nokta bunların modeldeki değişimleri doğru şekilde ifade edebilmesidir. Bilindiği gibi grid aralığı ne kadar küçük ise sonlu farklarla hesaplanan sayısal türevlerdeki hata miktarları da o oranda küçük olur. Ancak küçük grid aralığı sonlu farklar gridindeki düğüm (node) sayısını artıracağından çözüm için daha fazla bilgisayar zamanına (CPU time) ihtiyaç duyulacaktır. Bu nedenle modelin yatay ve düşey yöndeki uzanımları (model boyutları) ve yukarıda belirtilen hususlar göz önünde bulundurularak en uygun (optimum) grid aralıkları belirlenmelidir. Sonlu farklar yöntemi yatay ve düşey yönde farklı grid aralıklarının kullanımına imkan vermesine rağmen bunlar birbirine eşit olarak da alınabilir. Sonlu farklar algoritmasında grid içinde herhangi bir (i,j) noktasındaki sıcaklık değeri bu noktaya komşu olan (i+1,j), (i-1,j), (i,j+1) ve (i,j-1) noktalarındaki sıcaklık değerleri kullanılarak hesaplanır. Aşağıda kartezyen koordinat sisteminde herhangi bir (i,j) noktasındaki sıcaklık değeri T(i,j)' yi veren sonlu farklar ifadesi yer almaktadır, Ti,j = {(Δx2 Δz2) / [Δz2 (K1 + K2) + Δx2 (K3 + K4)]}{[(K1 Tm+1, n + K2 Tm-1, n) / Δx2] + [(K3 Tm, n+1 + K4 Tm, n-1) / Δz2] + A}. Burada, K1 = Km+1/2, n= 0.5(Km+1, n + Km, n), K2 = Km-1/2, n = 0.5(Km-1, n + Km, n), K3 = Km, n+1/2 = 0.5(Km, n+1 + Km, n), K4 = Km, n-1/2 = 0.5(Km, n-1 + Km, n) ve Dx ile Dz yatay ve düşey grid aralıkları olup, "A" hacim başına ısı üretimidir ve "K" ısı iletim katsayısını temsil etmektedir (Reiter ve Clarkson, 1983). Eşitlik 10’da yer alan sonlu farklar ifadesi ile grid içindeki düğüm noktalarında sıcaklıkların hesaplanması ve sınır koşullarını kullanarak modelin sınırları boyunca yer alan noktalardaki sıcaklık değerlerinin belirlenmesi ısı transferi modellemesinin esasını oluşturur. Matematiksel anlamda bu bir sınır değer (boundary-value) problemi çözümüdür. Matematiksel fizikte sıklıkla karşılaşılan sınırdeğer problemlerinin çözümünde çeşitli algoritmalar kullanılmaktadır. Bunlar içinde en çok tercih edilenleri relaksasyon (relaxation) yöntemleridir. Bu yöntemlerin temelini sınır ve başlangıç koşullarından hareketle yinelemeli (iterative) çözümlerle sonuca ulaşmak oluşturur. Okur bu konudaki daha detaylı bilgileri standart sayısal analiz kitaplarında bulabilir (Pres vd., 1986). Bu çalışmada ele alınan problemler relaksasyon yöntemlerinden olan "successive overrelaxation" metodu kullanılarak çözülmüştür. On iterasyonda bir tüm grid noktalarındaki sıcaklıkların toplamı ile on iterasyon önceki toplam arasındaki fark 10°C den küçük olduğu zaman iterasyon durdurularak çözüm tamamlanmıştır. Gridin tüm noktalarındaki sıcaklıkların hesaplanmış olması ve modeli oluşturan birimlere ait ısı iletim katsayılarının biliniyor olması modelin yüzeyi boyunca açığa çıkan ısı akısının hesaplanmasına olanak verir. Bu, yüzey boyunca olan noktalardaki sıcaklıklar ile yüzeyin hemen altındaki noktalardaki sıcaklıklar kullanılarak hesaplanan gradyan ile yüzey boyunca olan birimlere ait ısı iletim katsayıları kullanılarak kolaylıkla hesaplanabilir (Reiter ve Clarkson, 1983). Yine aynı yaklaşımla modelin herhangi bir noktasındaki ısı akısını da hesaplamak mümkündür. Gökhan GÖKTÜRKLER - DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 4 Sayı: 3 sh. 67-80 Ekim 2002