İkili İşlem

DeepSubjecT · 6 Şub 2014

Eğer X bir kümeyse,
$073e61f9fd390745a15dc70c6263c3ce.png$
kümesinden X kümesine giden bir fonksiyona X kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi
$63175ede13c5bca6f5f63816278bae17.png$
olarak gösterirsek, f(x,y) yerine genellikle x + y,
$89df7401551d525a04db9dc12e4684ba.png$
,
$d53761500896c12ade76d478b52a2a38.png$
ya da daha yaygın olarak xy yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her
$21b5c609141cd6336ea77401613d9e02.png$
için, işlemin sonucu olan
$d53761500896c12ade76d478b52a2a38.png$
elemanının gene X kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin, X = N (doğal sayılar kümesi) ise, x − y işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir, çünkü, örneğin, 5 − 7 bir doğal sayı değildir. Öte yandan
$a5e034cdb0d2acbaa6846b2909053d90.png$
olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.
İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.
x + y yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her
$7a20eb4ec40d2946bf14561b7bdfb50c.png$
için
$dee52815a9c5e2b33cb5e30e4eed146b.png$
olduğunda kullanılır.
İşlemlerde genellikle her
$e51451267f251310c3ad95a3d5135c04.png$
elemanı için
$8079df549088678c1e019f6108a202fc.png$
eşitliği aranır, çünkü yoksa hayat çok zor olur, örneğin x3 elemanından rahatça (yani özel bir tanıma gerek kalmadan) söz edebilmek için
$747266635cecb38b6cab8ea622d9e366.png$
eşitliği geçerli olmalıdır. Bu özelliğe birleşme özelliği adı verilir.
Eğer her
$735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png$
için ex = x eşitliğini sağlayan bir
$3394f8460961d70c08929fd0d61b7693.png$
elemanı varsa, e'ye işlemin soldan etkisiz elemanı adı verilir. Sağdan etkisiz eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan etkisiz elemanlar eşit olmak zorundadırlar, nitekim eğer e soldan, f de sağdan etkisizse f = ef = e olur. Öte yandan bir işlemde sağdan etkisiz eleman yoksa birden fazla soldan etkisiz eleman olabilir. Örneğin
$4385979809a0572ae8adf76efe692aeb.png$
olarak tanımlanan işlemde her
$735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png$
soldan etkisizdir; ve eğer kümede birden fazla eleman varsa bu işlemin sağdan etkisiz elemanı yoktur. Sağdan ve soldan etkisiz olan elemana kısaca etkisiz eleman denir.
Eğer her
$735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png$
için ax = a ise a'ya soldan yutan eleman denir. Sağdan yutan eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan yutan elemanlar - olduklarında - eşittirler, çünkü eğer a soldan, b de sağdan yutansa, o zaman a= ab = b olur.
Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşke işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X, X), Xkümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer
$cd36dcfe0b9593718a6109635085eada.png$
Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden Xkümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her
$735b05e6097f98da56f2ca14b8005d36.png$
için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır ama değişmeli değildir ve ayrıca etkisiz elemanı IdX olarak gösterilen özdeşlik fonksiyonudur.