HERAKLES Otomatik Avlı kalıcı sunucu. 19 Haziran'da açılıyor. Atius & Wizard güvencesiyle hemen kayıt ol, ön kayıt ödülleri aktif. HEMEN TIKLA!
Sıfır etrafindaki birinci moment, eğer anlamlı ise, Xin matematiksel beklentisi yani μ olarak yazılan Xin olasılık dağılımının ortalamasıdır. Daha yüksek dereceler icin merkezsel momentler sıfır etrafında momentlerden daha ilgi çekicidir.
Bir rassal değişken olan Xin olasılık dağılımının ninci merkezsel momenti şudur:
Böylece birinci merkezsel moment 0 olur.
[h=3]Varyans[değiştir | kaynağı değiştir][/h]İkinci merkezsel moment varyans σ2 olur; bunun pozitif kare kökü standart sapma σ olur.
[h=4]Normalize edilmiş momentler[değiştir | kaynağı değiştir][/h]Normalize edilmiş ninci merkezsel moment veya standardize edilmis moment ninci merkezsel moment bolu σn olur; yani t = (x - μ
/σ ifadesinin ninci momentidir. Bu normalize edilmiş momentler boyutsuz niceliklerdir ve herhangi bir dogrusal iskala degişiminden etkilenmeden bir dagilimi temsil edebilirler.
[h=3]Çarpıklık[değiştir | kaynağı değiştir][/h]Üçüncü merkezsel moment bir dağılımın simetrik olmaması ölçüsüdür. Herhangi bir simetrik dağılım için üçüncü merkezsel moment, eğer tanımlanabilirse, 0 olur. Normalize edilmiş üçüncü merkezsel moment γ ile yazılıp çarpıklık adı ile anılır. Sol tarafa çarpıklık gösteren (yani sol kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım negatif çarpıklık gösterir. Sağ tarafa çarpıklık gösteren (yani sağ kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım pozitif çarpıklık gösterir.
Normal dağılımdan çok fazla farklı olmayan dağılımlar icin medyan μ - γσ/6 değerine yaklaşık olur ve mod ise μ - γσ/2 ifadesine yaklaşıktır.
[h=3]Basıklık[değiştir | kaynağı değiştir][/h]Dördüncü merkezsel moment dağılımın ince ve sivri mi yoksa kalın ve basık mı olduğunun ölçüsüdür ve bu niteliği ayırt etmek için aynı varyansı gösteren bir normal dağılım ile karşılaştırma yapılır. Dördüncü merkezsel moment, bir dörtlü üstelin matematiksel beklentisi olduğu için, eğer tanımı yapılabilirse, (sadece dejenere nokta dağılım hariç) her zaman pozitif değer alır. Bir normal dağılım için dördüncü merkezsel moment 3σ4 olur.
Basıklık ölçüsü olarak kullanılan basıklık fazlalığı katsayısı κ, normalize edilmiş dördüncü merkezsel moment eksi 3 olarak tanımlanır. (Gelecek kısımda gösterildiği gibi, bu ölçü dördüncükümülant bölü varyans kare olarak da tanımlanır.) Bazı otoriteler bu şekilde normal dağılımı koordinatların orijinine koymak için kullanılan eksi 3 terimini tenkit etmektedirler. Eğer bir dağılım ortalama değerinde bir doruk ve iki tarafında uzun kuyruklar gösterirse, dördüncü moment değeri büyük olur ve basıklık ölçüsü κ pozitifdir; aksi halde dördüncü moment değeri küçük ve basıklık ölçüsü κ negatif olur. Böylece sınırlanmiş dağılımlarda basıklık düşüktür.
Basıklık ölçüsü hiç sınırsız bir şekilde pozitif olması mümkündür ve κ değeri mutlaka γ2 - 2; değerine eşit veya bu değerden büyük olmalıdır. κ değeri ile γ2 - 2; değeri eşitliği ise ancak ve ancakBernoulli dağılımı için doğrudur. Normal dağılımdan çok farklı şekil göstermeyen sınırsız çarpıklık goösteren dağılımlar için κ değeri γ2 ile 2γ2 arasında bulunur.
Bu eşitsizlik terimin isbat etmek için önce şu terimi ele alalım:
Bunda T = (X - μ/σ olur. Bu bir karenin matematiksel bekleyişidir. a degeri ne olursa olsun bu non-negatiftir ve ayni zamanda a ifadesinde bir kuadratik denklem olur. Bu da isbati istenilen ifadedir.
Bir rassal değişken olan Xin olasılık dağılımının ninci merkezsel momenti şudur:
[h=3]Varyans[değiştir | kaynağı değiştir][/h]İkinci merkezsel moment varyans σ2 olur; bunun pozitif kare kökü standart sapma σ olur.
[h=4]Normalize edilmiş momentler[değiştir | kaynağı değiştir][/h]Normalize edilmiş ninci merkezsel moment veya standardize edilmis moment ninci merkezsel moment bolu σn olur; yani t = (x - μ
/σ ifadesinin ninci momentidir. Bu normalize edilmiş momentler boyutsuz niceliklerdir ve herhangi bir dogrusal iskala degişiminden etkilenmeden bir dagilimi temsil edebilirler.[h=3]Çarpıklık[değiştir | kaynağı değiştir][/h]Üçüncü merkezsel moment bir dağılımın simetrik olmaması ölçüsüdür. Herhangi bir simetrik dağılım için üçüncü merkezsel moment, eğer tanımlanabilirse, 0 olur. Normalize edilmiş üçüncü merkezsel moment γ ile yazılıp çarpıklık adı ile anılır. Sol tarafa çarpıklık gösteren (yani sol kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım negatif çarpıklık gösterir. Sağ tarafa çarpıklık gösteren (yani sağ kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım pozitif çarpıklık gösterir.
Normal dağılımdan çok fazla farklı olmayan dağılımlar icin medyan μ - γσ/6 değerine yaklaşık olur ve mod ise μ - γσ/2 ifadesine yaklaşıktır.
[h=3]Basıklık[değiştir | kaynağı değiştir][/h]Dördüncü merkezsel moment dağılımın ince ve sivri mi yoksa kalın ve basık mı olduğunun ölçüsüdür ve bu niteliği ayırt etmek için aynı varyansı gösteren bir normal dağılım ile karşılaştırma yapılır. Dördüncü merkezsel moment, bir dörtlü üstelin matematiksel beklentisi olduğu için, eğer tanımı yapılabilirse, (sadece dejenere nokta dağılım hariç) her zaman pozitif değer alır. Bir normal dağılım için dördüncü merkezsel moment 3σ4 olur.
Basıklık ölçüsü olarak kullanılan basıklık fazlalığı katsayısı κ, normalize edilmiş dördüncü merkezsel moment eksi 3 olarak tanımlanır. (Gelecek kısımda gösterildiği gibi, bu ölçü dördüncükümülant bölü varyans kare olarak da tanımlanır.) Bazı otoriteler bu şekilde normal dağılımı koordinatların orijinine koymak için kullanılan eksi 3 terimini tenkit etmektedirler. Eğer bir dağılım ortalama değerinde bir doruk ve iki tarafında uzun kuyruklar gösterirse, dördüncü moment değeri büyük olur ve basıklık ölçüsü κ pozitifdir; aksi halde dördüncü moment değeri küçük ve basıklık ölçüsü κ negatif olur. Böylece sınırlanmiş dağılımlarda basıklık düşüktür.
Basıklık ölçüsü hiç sınırsız bir şekilde pozitif olması mümkündür ve κ değeri mutlaka γ2 - 2; değerine eşit veya bu değerden büyük olmalıdır. κ değeri ile γ2 - 2; değeri eşitliği ise ancak ve ancakBernoulli dağılımı için doğrudur. Normal dağılımdan çok farklı şekil göstermeyen sınırsız çarpıklık goösteren dağılımlar için κ değeri γ2 ile 2γ2 arasında bulunur.
Bu eşitsizlik terimin isbat etmek için önce şu terimi ele alalım:
/σ olur. Bu bir karenin matematiksel bekleyişidir. a degeri ne olursa olsun bu non-negatiftir ve ayni zamanda a ifadesinde bir kuadratik denklem olur. Bu da isbati istenilen ifadedir.
