ve
iki küme olsun.
'nın her elemanını bir biçimde
'nin bir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirelim. (Koyu renkle yazılmış sözcükler önemlidir; ilerde bunların üstünde duracağız.) Örneğin
(gerçel sayılar kümesi),
de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani
olsun. İlişkilendirmeyi de şöyle yapalım:
'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirelim. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi
olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, örneğin -3 sayısı 9'la,
sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte
'dan
'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon
simgesiyle ifade edilir. Verilen örnek için
yazılır.
yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun.
fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu,
'dan
'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden
kümesine giden bir fonksiyondur.
'dan
'ye giden bir
fonksiyonu,
kümesinin her elemanını
'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İlerde, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)
Özet olarak, verilmiş bir
fonksiyonu,
'nın her elemanını bir biçimde
'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.
Yukardaki örnekte, kural,
olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca
ve
kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile
ve
kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukardaki örnek üzerinden gidelim:
Yukarda
R ve
almış ve fonksiyonu
kuralıyla tanımlamıştık. Şimdi
yerine
alırsak ve formülü ve
kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen
fonksiyonunu gene
ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır.
'den
'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu örneğin
ile gösterebiliriz.
Bunun gibi,
kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; örneğin
ise, kare alma kuralı
'dan
'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukardakilerle karışmasın diye,
ya da
ile değil, bir başka simgeyle, örneğin
ile gösterilir.
Aynı şekilde
'den
'e giden bir fonksiyon,
ya da
ile değil, örneğin
ile gösterilmelidir.
Yukarda koyu renkle yazılı sözcükler şu nedenle önemlidir: Bir
fonksiyonu,
kümesinin her elemanını
'nin bir elemanına götürür, yani
'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Örneğin, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi
'den
'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da
(doğal sayılar kümesi) ise,
kuralı,
'dan
'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü
'dir ve
olmasına karşın
sayısı
'de değildir. Öte yandan bu
kuralı,
'den tamsayılar kümesi
'ye giden bir fonksiyon tanımlar.
İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir
fonksiyonu,
'nın her elemanını
'nin bir ve bir tek elemanına götürür, yani
'nın aynı elemanı
'nin iki ayrı elemanına gidemez. (Yukarda verilen kardeş örneğini anımsayın.) Örneğin
ise,
'nin bir
elemanını
denkleminin
çözümlerine götüremez, çünkü eğer
değilse, bu denklemin R'de iki değişik
çözümü vardır, nitekim
denkleminin çözümleri
ve
'tir. Burada,
'in
'e mi yoksa
'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir
fonksiyonunda,
'nın her elemanını
'nin bir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)
