- Katılım
- 7 Eyl 2009
- Konular
- 6,986
- Mesajlar
- 38,038
- Çözüm
- 1
- Online süresi
- 7d 22h
- Reaksiyon Skoru
- 1,833
- Altın Konu
- 0
- Başarım Puanı
- 494
- MmoLira
- 6,600
- DevLira
- 0
HERAKLES Otomatik Avlı kalıcı sunucu. 19 Haziran'da açılıyor. Atius & Wizard güvencesiyle hemen kayıt ol, ön kayıt ödülleri aktif. HEMEN TIKLA!
Evrensel cebir, Matematiğin bir dalıdır, tüm cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.
Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim A ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).
Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir \Sigma=\{+,*\}.
+:: A \times A \rightarrow A
*:: A \times A \rightarrow A
0:: \rightarrow A
1:: \rightarrow A
0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.
0 + x = x
x + y = y + x
(x + y) + z = x + (y + z)
x * 1 = x
x * y = y * x
(x * y) * z = x * (y * z)
Yukardaki imza \Sigma bir cebir doğasal sayılardır N (\mathbb{N}, +^N, *^N, 0^N, 1^N). Burada +^N bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.
Bu cebir yukardaki E adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")N \models E. Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.
E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.B = (\{a,b\}, +^B, *^B, 0^B, 1^B)
0^B \mapsto a
1^B \mapsto b
a +^B a \mapsto a
a +^B b \mapsto b
b +^B a \mapsto b
b +^B b \mapsto b
a *^B a \mapsto a
a *^B b \mapsto a
b *^B a \mapsto a
b *^B b \mapsto b
Bunun bir model olduğunu (yani B \models E ifadesini) kanıtlamak kolaydır.
Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:
Bir eşitlikler birimini E nin modeli var mıdır?
E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?
Mesela x = 1 * x eşitliği, yukardaki Enin bir neticesidir. E \models x = 1*x yazarak bunu ifade ederiz.
\{ s = t | E \models s=t \} birimine "E'nin teorisi" denilir.
Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim A ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).
Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir \Sigma=\{+,*\}.
+:: A \times A \rightarrow A
*:: A \times A \rightarrow A
0:: \rightarrow A
1:: \rightarrow A
0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.
0 + x = x
x + y = y + x
(x + y) + z = x + (y + z)
x * 1 = x
x * y = y * x
(x * y) * z = x * (y * z)
Yukardaki imza \Sigma bir cebir doğasal sayılardır N (\mathbb{N}, +^N, *^N, 0^N, 1^N). Burada +^N bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.
Bu cebir yukardaki E adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")N \models E. Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.
E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.B = (\{a,b\}, +^B, *^B, 0^B, 1^B)
0^B \mapsto a
1^B \mapsto b
a +^B a \mapsto a
a +^B b \mapsto b
b +^B a \mapsto b
b +^B b \mapsto b
a *^B a \mapsto a
a *^B b \mapsto a
b *^B a \mapsto a
b *^B b \mapsto b
Bunun bir model olduğunu (yani B \models E ifadesini) kanıtlamak kolaydır.
Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:
Bir eşitlikler birimini E nin modeli var mıdır?
E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?
Mesela x = 1 * x eşitliği, yukardaki Enin bir neticesidir. E \models x = 1*x yazarak bunu ifade ederiz.
\{ s = t | E \models s=t \} birimine "E'nin teorisi" denilir.
