Evrensel cebir, Matematiğin bir dalıdır, tüm cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.
Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim A ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).
Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir \Sigma=\{+,*\}.
+:: A \times A \rightarrow A
*:: A \times A \rightarrow A
0:: \rightarrow A
1:: \rightarrow A
0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.
0 + x = x
x + y = y + x
(x + y) + z = x + (y + z)
x * 1 = x
x * y = y * x
(x * y) * z = x * (y * z)
Yukardaki imza \Sigma bir cebir doğasal sayılardır N (\mathbb{N}, +^N, *^N, 0^N, 1^N). Burada +^N bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.
Bu cebir yukardaki E adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")N \models E. Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.
E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.B = (\{a,b\}, +^B, *^B, 0^B, 1^B)
0^B \mapsto a
1^B \mapsto b
a +^B a \mapsto a
a +^B b \mapsto b
b +^B a \mapsto b
b +^B b \mapsto b
a *^B a \mapsto a
a *^B b \mapsto a
b *^B a \mapsto a
b *^B b \mapsto b
Bunun bir model olduğunu (yani B \models E ifadesini) kanıtlamak kolaydır.
Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:
Bir eşitlikler birimini E nin modeli var mıdır?
E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?
Mesela x = 1 * x eşitliği, yukardaki Enin bir neticesidir. E \models x = 1*x yazarak bunu ifade ederiz.
\{ s = t | E \models s=t \} birimine "E'nin teorisi" denilir.
Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim A ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).
Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir \Sigma=\{+,*\}.
+:: A \times A \rightarrow A
*:: A \times A \rightarrow A
0:: \rightarrow A
1:: \rightarrow A
0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.
0 + x = x
x + y = y + x
(x + y) + z = x + (y + z)
x * 1 = x
x * y = y * x
(x * y) * z = x * (y * z)
Yukardaki imza \Sigma bir cebir doğasal sayılardır N (\mathbb{N}, +^N, *^N, 0^N, 1^N). Burada +^N bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.
Bu cebir yukardaki E adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")N \models E. Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.
E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.B = (\{a,b\}, +^B, *^B, 0^B, 1^B)
0^B \mapsto a
1^B \mapsto b
a +^B a \mapsto a
a +^B b \mapsto b
b +^B a \mapsto b
b +^B b \mapsto b
a *^B a \mapsto a
a *^B b \mapsto a
b *^B a \mapsto a
b *^B b \mapsto b
Bunun bir model olduğunu (yani B \models E ifadesini) kanıtlamak kolaydır.
Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:
Bir eşitlikler birimini E nin modeli var mıdır?
E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?
Mesela x = 1 * x eşitliği, yukardaki Enin bir neticesidir. E \models x = 1*x yazarak bunu ifade ederiz.
\{ s = t | E \models s=t \} birimine "E'nin teorisi" denilir.