![[DEV]AB](/data/avatars/s/2135/2135420.jpg?1657747839){kind=avatar}
Karmaşık analizdeki kalıntı teoremi veya bilinen bir diğer adıyla rezidü teoremi, analitik fonksiyonların kapalı eğriler üzerindeki çizgi integrallerini bulmak için kullanılan önemli bir araçtır ve ayrıca sık bir şekilde gerçel integralleri bulmak için de kullanılır. Cauchy integral teoremini ve Cauchy integral formülünü genelleştirir.
İfadesi ise şöyledir: U, karmaşık düzlem C 'nin basit bağlantılı açık kümesi, a1,...,an U 'nun sonlu çokluktaki noktaları ve f, U \ {a1,...,an} üzerinde tanımlı ve holomorf bir fonksiyon olsun. γ, U içinde ak'yi sınırlayan ancak hiçbirini kesmeyen doğrultulabilir bir eğriyse ve başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynıysa, o zaman
\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k) \operatorname{Res}( f, a_k )
olur. γ Jordan eğrisi ise, I(γ, ak) = 1 olur ve böylece
\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}( f, a_k )
olur. Burada, Res(f, ak) ifadesi f 'nin ak 'deki kalıntısını ve I(γ, ak) ifadesi γ 'nın ak etrafındaki dolanım sayısını göstermektedir. Dolanım sayısı tamsayıdır ve sezgisel olarak γ 'nın ak etrafında ne kadar sıklıkla döndüğünü ölçer; γ ak etrafında saat yönünün tersine dönerse pozitiftir, eğer ak etrafında γ hiç dönmüyorsa 0'dır.
Gerçel integralleri bulmak için, kalıntı teoremi şu şekilde kullanılır. İntegrali alınan ifade karmaşık düzleme genişletilir ve kalıntıları hesaplanır (ki genelde kolaydır). Gerçel eksenin bir kısmına, yukarı yarı düzlemde veya aşağı yarı düzlemde yarım çember eklenerek, eksenin alınan parçası kapalı bir eğri haline getirilir. Genelde, yarım çemberin yarıçapı büyüdükçe integralin yarım çember üzerindeki kısmı sıfıra doğru gider. Bu da sadece gerçel eksen üzerindeki integrali bırakır ki aslında ilgilendiğimiz bu kısımdır.
İfadesi ise şöyledir: U, karmaşık düzlem C 'nin basit bağlantılı açık kümesi, a1,...,an U 'nun sonlu çokluktaki noktaları ve f, U \ {a1,...,an} üzerinde tanımlı ve holomorf bir fonksiyon olsun. γ, U içinde ak'yi sınırlayan ancak hiçbirini kesmeyen doğrultulabilir bir eğriyse ve başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynıysa, o zaman
\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k) \operatorname{Res}( f, a_k )
olur. γ Jordan eğrisi ise, I(γ, ak) = 1 olur ve böylece
\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}( f, a_k )
olur. Burada, Res(f, ak) ifadesi f 'nin ak 'deki kalıntısını ve I(γ, ak) ifadesi γ 'nın ak etrafındaki dolanım sayısını göstermektedir. Dolanım sayısı tamsayıdır ve sezgisel olarak γ 'nın ak etrafında ne kadar sıklıkla döndüğünü ölçer; γ ak etrafında saat yönünün tersine dönerse pozitiftir, eğer ak etrafında γ hiç dönmüyorsa 0'dır.
Gerçel integralleri bulmak için, kalıntı teoremi şu şekilde kullanılır. İntegrali alınan ifade karmaşık düzleme genişletilir ve kalıntıları hesaplanır (ki genelde kolaydır). Gerçel eksenin bir kısmına, yukarı yarı düzlemde veya aşağı yarı düzlemde yarım çember eklenerek, eksenin alınan parçası kapalı bir eğri haline getirilir. Genelde, yarım çemberin yarıçapı büyüdükçe integralin yarım çember üzerindeki kısmı sıfıra doğru gider. Bu da sadece gerçel eksen üzerindeki integrali bırakır ki aslında ilgilendiğimiz bu kısımdır.