HERAKLES Otomatik Avlı kalıcı sunucu. 19 Haziran'da açılıyor. Atius & Wizard güvencesiyle hemen kayıt ol, ön kayıt ödülleri aktif. HEMEN TIKLA!
Pascal Üçgeni - Binom[Konu Anlatımı] Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL“ üçgenini oluşturalım.
Kümenin Eleman Sayısı:
s(A)=0........................ .................... ...............1
s(A)=1........................ .................... ............1.....1
s(A)=2........................ .................... .......1.....2.....1
s(A)=3........................ .................... ..1.....3.....3.....1
s(A)=4........................ ..................1. ....4.....6.....4.....1
s(A)=5........................ ..............1..... 5.....10....10.....5....1 ...
Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını
bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.
Örneğin; s(A)=4 ..............1.....4.....6... ..4.....1
s(A)=5..........1.....5.....10 .....10.....5.....1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a
b
c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a}
{b}
{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a
b}
{a
c}
{b
c}3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a
b
c} 1 tane
s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo
bir kümenin 0 elemanlı
1 elemanlı
2 elemanlı
....alt kümelerinin sayısını gösterir.
Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı..........10.......... (s(A)=5`in satırında 4. sayı)
4 elemanlı..........5..........( s(A)=5`in satırında 5. sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)
Binom Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a`nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak
b`nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.
(a+b)5=?
Katsayılar 1 5 10 10 5 1
A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6
(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+ 5ab4+1b5
*(5x-3y)2=?
Katsayılar 1 2 1
5x`in kuvvetleri 25x2 5x 1
-3y`nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2
Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir
Kümenin Eleman Sayısı:
s(A)=0........................ .................... ...............1
s(A)=1........................ .................... ............1.....1
s(A)=2........................ .................... .......1.....2.....1
s(A)=3........................ .................... ..1.....3.....3.....1
s(A)=4........................ ..................1. ....4.....6.....4.....1
s(A)=5........................ ..............1..... 5.....10....10.....5....1 ...
Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını
Örneğin; s(A)=4 ..............1.....4.....6... ..4.....1
s(A)=5..........1.....5.....10 .....10.....5.....1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a}
2 elemanlı alt kümeleri{a
3 elemanlı alt kümeleri{a
s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo
Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı..........10.......... (s(A)=5`in satırında 4. sayı)
4 elemanlı..........5..........( s(A)=5`in satırında 5. sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)
Binom Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a`nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak
(a+b)5=?
Katsayılar 1 5 10 10 5 1
A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6
(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+ 5ab4+1b5
*(5x-3y)2=?
Katsayılar 1 2 1
5x`in kuvvetleri 25x2 5x 1
-3y`nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2
Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir
