Sitemize reklam vermek için [email protected] adresine mail atabilirsiniz
For Advertising Contact [email protected]


Matris ve Determinant

Hakan811

Level 6
TM Üye
Üye
Ticaret - 0%
0   0   0
Katılım
3 Şub 2009
Mesajlar
1,426
Beğeniler
31
MmoLira
0
DevLira
0
#1
Matris ve Determinant

A. MATRİSİN TANIMI
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat1.gif&hash=541f2dff1c5f0b90932d3fb5d6a6ffcd

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde
(m tane satır ve n tane sütun) bir
matris denir.
Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat2.gif&hash=00a5d2e1687ffd2e13d9f41b33d18ddd

elemanları, A matrisinin 1. satırını oluşturmaktadır.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat3.gif&hash=6151c403eccdda1444accdc90cf66d13

elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.
Burada aij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.
Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ
1. Sıfır Matrisi
Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

2. Kare Matrisi
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat4.gif&hash=74aad387c83b8e5e49c910e86ce6df1b

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir.
A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

3. Birim Matris
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat5.gif&hash=4305d0f8dce10e2edfc0a64f86d1c176

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Yandaki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ
Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)
Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.
Bir A matrisinin transpozu AT ya da Ad biçimlerinden biri ile gösterilebilir.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat6.gif&hash=86dbe1f9ab55794960aca2d19166e8ca


E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI
Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat7.gif&hash=a1da88c09e11ac02b4ad6192102fefde


F. MATRİSLERİN TOPLAMI
Aynı türden matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat8.gif&hash=a5b768f5072f6ab0961fb3b7a47ea8bb


G. MATRİSLERİN FARKI
Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat9.gif&hash=317ef466dbd75fecc62686a81d39f70a

Özellik
1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.)
3. A + O = O + A = A (Sıfır matrisi toplamaya göre birim (etkisiz) elemandır.)
4. A + (�A) = O (�A matrisi A matrisinin toplamaya göre tersidir.)
5. (A + B)T = AT + BT
6. (A � B)T = AT � BT
7. k × (A + B) = k × A + k × B
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat10.gif&hash=333be774b603e1f213a042b10a01560e

8. k × (A � B) = k × A � k × B
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat10.gif&hash=333be774b603e1f213a042b10a01560e

9. (k + p) × A = k × A + p × A
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat11.gif&hash=a94294a5d4e1e4de826c471f65a53061

10. k × (p × A) = (k × p) × A
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat11.gif&hash=a94294a5d4e1e4de826c471f65a53061



H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI
A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,
B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.

m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.
Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

Özellik
1. A × B ¹ B × A (Değişme özelliği yoktur. Ancak bazı özel durumlarda eşitlik olabilir.)
A × I = I × A
Am × An = Am + n
A�1 × A = A × A�1
2. A × (B × C) = (A × B) × C (Birleşme özelliği vardır.)
3. A × (B + C) = A × B + A × C
(B + C) × A = B × A + C × A
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır.
4. A × B = O ise A = O veya B = O olması gerekmez.
5. A × I = I × A = A (I matrisi çarpmaya göre etkisiz elemandır.)
6. A × B = B ise A = I olması gerekmez.
7. (A × B)T = BT × AT
(A × B × C)T = CT × BT × AT


I. KARE MATRİSİN KUVVETİ
A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat12.gif&hash=d4a5218481ec399287bbe81adaf557f0

Ayrıca,
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat13.gif&hash=cc2755ca0221408c356be85c62fbae29

olur.
Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat14.gif&hash=85b89365dc35663438b0b98e58044eb5

Kural
2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir.
Bu özel durumların başlıcaları şunlardır:
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat15.gif&hash=a149874175726817d66417adcca5925c

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat16.gif&hash=b27090540f6b37465211cde1ef39a9c9



J. MATRİSİN DETERMİNANTI
Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.
Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.
A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir.
|A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

Kural

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat17.gif&hash=5d9eaff1a1515323aeaa412930822f4f

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.


1. Sarrus Kuralı
A = [aij]3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat19.gif&hash=182ac6d4baf9c971169d445333fea26a

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:
1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.
2. Köşegeni oluşturan a11, a22, a33 çarpılır; çarpım sağa yazılır.
3. Köşegenin hemen altındaki a21, a32, a13 çarpılır; çarpım sağa yazılır.
4. Aynı yaklaşımla a31, a12, a23 çarpılır; çarpım sağa yazılır.
5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T1 olsun
6. Diğer köşegeni oluşturan a13, a22, a31 çarpılır; çarpım sola yazılır.
7. Diğer köşegenin hemen altındaki a23, a32, a11 çarpılır; çarpım sola yazılır.
8. Aynı yaklaşımla a33, a12, a21 çarpılır; çarpım sola yazılır.
9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T2 olsun,
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat20.gif&hash=cd3419e9574d1a86d5864bc73101be49

10. A matrisinin determinantı: detA = T1 � T2 dir.

2. İşaretli Minör (Kofaktör)
Bir kare matriste aij elemanının minörü Mij olsun.
aij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat21.gif&hash=c140cb9206de213e8ee188c4ca58e615

Kural
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat24.gif&hash=00104cb617baa0e5fbaf4f7d8dd32685
matrisi verilsin.
Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.
i. satıra göre determinant:
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat22.gif&hash=d7c849bdaa6a596e5dfedd6508bad253

j. sütuna göre determinant:
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat23.gif&hash=113c811f1a9280810470df7b46408f8c


3. Determinantın Özellikleri
Özellik
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Bir satır veya bir sütunun tüm elemanları sıfır olan matrislerin determinantı sıfırdır.

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı sıfırdır.

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin determinantı sıfırdır.

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Herhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti değişir.

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Bir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir.

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir.

det(A × B) = detA × detB
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Bir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir.

detAn = (detA)n
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir.

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat25.gif&hash=2dd36996fb4a63ed28a9a7531b5e86c6

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
A = [aij|m×n matrisinin k ile çarpımının determinantı,
A nın determinantının kn ile çarpımına eşittir.

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat26.gif&hash=ae4c594569f1cf0683e311bc9376b2b5

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları
k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir.

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Bir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri değişmez.

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat18.gif&hash=3501832cb99b89e357aa02d0b9c76ae7
Sadece bir satır veya bir sütun elemanları farklı olan matrislerin determinantları toplamı, diğer satır veya sütunları aynı olan ve farklı sütunu farklı sütunların toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.



K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)
Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat27.gif&hash=bf91558ab1b401ac8ecbe0d398665081


L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
a = [Aij]m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A�1 biçiminde gösteririz.
Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.
proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat28.gif&hash=dedfce68d4a8a316f11882ba33c43fc7

Kural

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat29.gif&hash=ae49c93f9c33f8e36c727c9ca352b4c9

Özellik

proxy.php?image=http%3A%2F%2Fwww.cebirsel.com%2Fmaths%2Fmath2-KonuAnlatim%2Fmatris_dosyalar%2F30_Mat30.gif&hash=f03ea77486ee40bccd26cd3480b285b4
 
Üst