- Katılım
- 23 Ocak 2016
- Konular
- 8,370
- Mesajlar
- 18,385
- Online süresi
- 4mo 19d
- Reaksiyon Skoru
- 4,080
- Altın Konu
- 0
- Başarım Puanı
- 506
- MmoLira
- 39
- DevLira
- 0
ROHAN2 WORLD 1-120 TR TİPİ OFFICIAL YOHARA, BALATHOR VE AMON! 80. GÜNÜNDE! +10.000 ONLİNE! HİLE VE BOT %100 ENGELLİ HEMEN TIKLA!
AKARSULARDA TAŞKIN ÖTELENMESİ
6. 1. Hidrolojik (Toplu) Modeller
Hidrolojik modellerle akım ötelenirken akarsu uygun uzunlukta parçalara ayrılır. Akarsuyun en yukarısındaki parçadan başlayarak sırayla her bir parça için giriş hidrografı bilindiğine göre çıkış hidrografı hesaplanır. Elde edilen çıkış hidrografı bundan sonraki parçanın giriş hidrografı olarak hesaplar sürdürülür.
Akarsuyun bir parçasına giren akımın hidrografı x (t), bu parçadan çıkan akımın hidrografı y (t), bu parçada birikmiş su hacmi de S (t) ile gösterilirse süreklilik denklemi
6. 1
x ve y verileri biliniyorsa S fonksiyonu hesaplanabilir. X (t) > y (t) olan bölgede
dS/dt >0 olacağından akarsuda depolanan hacim artacaktır. Depolanan hacim bir maksimumdan geçtikten sonra y (t) > x (t) olan bölgede dS < 0 olacağından azalmaya başlar, bu bölgede akarsu da depolanmış olan su boşalmaktadır. (7)
Şekil 5 Bir akarsu parçasına giren ve çıkan akımların hidrograflarından biriktirme hacminin hesabı
Giriş ve çıkış hidrografları arasındaki fark şekil 5’te taralı alanla belirtilen, süreklilik denkleminde gösterilen kanal boyunca oluşan depolamadaki değişim hızına eşittir. Depolama artarken süreklilik denkleminde ki değeri pozitiftir ve depolama düşerken negatiftir. Burada depolama S zamanın bir fonksiyonu olarak çizilebilir. Süreklilik denklemi (6.1) sonlu farklar formuyla 6. 2 deki gibi yazılabilir, burada Dt ötelenme zamanı periyodunu, 1ve 2 alt indisleri ise periyodun başlangıç ve bitiş zamanını belirtir.
6. 2
Eğer bir nehir boyundaki depolama çıkış debisine göre çizilmişse sonuç eğrisi genellikle şekil 6’da gösterildiği gibi bir döngü biçimini alır. Bu döngü sonuçları, verilen bir çıkış hidrografında yükselme seviyesinde, iniş seviyesine göre daha fazla depolama olduğunu göstermektedir. Taşkın dalgasının geçişi sırasında değişik zamanlara ait su yüzü profilleri için prizma ve kama depolama tanımlarının faydası olacaktır. Bu şekil 7’de gösterilmiştir. Kama depolamadaki büyük hacim, çıkış debisi artmazdan önceki yükselen seviyelerde ortaya çıkar. Düşen seviyede ise, giriş debisi çıkış debisinden daha hızlı düştüğünden kama depolama negatif olur. Böylelikle nehir ve kanallardaki hidrolojik öteleme kama depolamaya izin veren bir depolama bağıntısını gerektirir. Bu ise taşkın öteleme metodu Muskingum da depolamanın hem giriş hem de çıkış debilerinin fonksiyonu olmasına olanak sağlanarak başarıya ulaşmıştır. (1)
Şekil 6 Biriktirme hacmi ile çıkan akım arasındaki ilişki
Şekil 7 Bir taşkın dalgasının geçişi sırasında çeşitli anlarda su yüzü profilleri
6. 1. 1. Muskingum Modeli
Hidrografın akarsu boyunca ötelenmesi için en çok kullanılan hidrolojik bir modeldir. İlk olarak 1938 yılında McCarty tarafından geliştirilmiştir. Muskingum metodu adı gibi, Ohio ‘daki Muskingum nehrindeki taşkın kontrol planlarından ortaya çıkmıştır. Metod, giriş, çıkış, depolama arasında lineer bir bağlantı olduğunu örnekler.
Bir hidrografın akarsu boyunca hidrolojik metotla ötelenmesi, göz önüne alınan akarsu parçasına (6. 1) süreklilik denkleminin uygulanmasına dayanır.
Bu denklem sonlu farklarla yazılırsa, 6. 2 denklemi elde edilir. Bu denklemi biraz tanımlayacak olursak; Dt zaman aralığının başlangıcında giren akış x1, çıkan akış y1, depolanmış hacim S1 ile Dt zaman aralığının sonunda giren akış x2, çıkan akış y2, depolanmış hacim S2 ile ifade edilir;
Akarsuda birikmiş hacim gerek giren, gerekse çıkan akışlara bağlıdır. Muskingum metodunda bu bağlılık için şu kabul yapılır:
6. 3
Bu kabul Chow tarafından 1959 da şöyle geliştirilmiştir. (a yerine x, x yerine I, y yerine O notasyonları yapılmıştır. )
6. 4
Burada giriş ve çıkış debileri Manning denkleminden ayn olarak ifade edilir, a ve n birer sabittir. Geçiş sırasındaki depolama ise bym , b ve m sabit, ile ifade edilir. X parametresi ise geçiş sırasındaki depolama hacmini bulurken, giriş ve çıkış debileri arasındaki ağırlı oranını tanımlar. Muskingum metodu m/n = 1 ve b/a = K olduğunu varsayar ve 6. 3 lineer denklemini verir. (1, 10)
Geleneksel Muskingum metodu şöyle başlar. Öncelikle, ölçülmüş datalardan K ve a parametreleri tahmin edilir ve giriş, çıkış, depolama arasındaki lineer ilişki belirlenir. Bunlar belirlendikten sonra metodun hazne ötelenmesinden bir farkı kalmaz. Bir I-O-S bağıntısı denklem 4. 19 da yer alan N-I-O ilişkisine öncülük eder. Bir N-I-O ilişkisinde O ‘nun ilk değeri, N’nin ilk değerini elde etmede kullanılır ve denklem 4. 20 ile N’nin sonraki değeri bulunur. Yeni bulunan N değeri, bir sonraki adımda ilk değer olarak kullanılır ve sonraki O değerleri bulunur.
Bu metotta beliren problem 4. 21 ‘deki K, x parametrelerinin hassasiyetidir. Bu parametreler genellikle ölçülmüş dataların kalibrasyonundan elde edilir. Aynı parametrelerin elde edildiği nehirden farklı koşullarda ki bir nehirde uygulanması durumunda bu parametrelerin kullanımında büyük önem sarf edilmelidir.
6. 3 denkleminde; K geçiş süresi sabiti, a ise değeri 0 ile 0, 5 arasında değişen ağırlık faktörüdür.
Depolamanın sadece çıkış debisine bağlı olduğu hazne ötelemesi (hidrografın su yüzeyinin yatay olduğu) durumlarında, denklem (6.3) de a = 0 olur. Düzgün uniform kanallarda, a=0. 5 alınır yani giriş ve çıkış debilerinin birbirine eşit olduğu kabul edilir. Teorik olarak taşkın dalgasının girdiği gibi çıktığı kabul edilir. Pek çok doğal nehirde tipik olarak a = 0. 2’ye yakın olmak üzere. 0 ile 0. 3 arasında değişir. Modelin sonuçları a için kabul edilen değere fazla duyarlı olmadığından bu katsayının belirlenmesinde büyük bir doğruluk gerekmez. (4)
Yine de ve K katsayılarının değerlerini bulmak için basit bir yol, a ‘ya çeşitli değerler verip bu değerlere göre hesaplanan ifadesi ile S arasındaki bağıntıyı çizmektir. Bu bağıntının doğruya en fazla yaklaşmasını sağlayan a değeri aranan değerdir, elde edilen doğrunun eğimi de K değerini verir. (3)
Muskingum modelinde akarsu uygun uzunlukta parçalara ayrılırken, bu parçaların her birinde akarsuyun özellikleri (kesit, eğim, pürüzlülük) yaklaşık olarak sabit olmalıdır. Dt zaman aralığı taşkın dalgasının akarsu parçasından geçmesi için gerekli süreden daha küçük seçilmelidir ki, hidrografın pik noktası Dt zaman aralığı içinde akarsu parçasını geçemesin. Dt’yi hidrografın akarsu parçasını geçiş süresinin 1/3-1/2’ si kadar seçmek uygun olabilir, Dt değeri 2aK ile K arasında kalmalıdır.
Muskingum modeli taban eğimi yüksek olan akımlarda ve hidrografın yükselme süresinin büyük olması halinde iyi sonuç verir
Hidrografı ötelerken söz konusu akarsu parçası, içinde akarsuya kollarından katılan akımları da göz önüne almak gerekir. Kol akarsuya o akarsu parçasının menbaya yakın bir yerinde katılıyorsa getirdiği akımlar giriş hidrografına eklenebilir. Kol akarsuya akarsu parçasının mansaba yakın bir yerinde katılıyorsa o parça için çıkış hidrografı hesaplandıktan sonra kolun getirdiği akımlar bu hidrografa eklenir. Daha genel olarak kolun getirdiği akım uygun oranda iki kısma ayrılıp biri menbada, biri mansapta hesaba katılabilir.
Akarsu parçası için a ve K parametreleri belirlendikten sonra 6. 2 denklemi ile 6. 3 denklemleri birleştirilirse Dt zaman aralığının sonundaki y2 çıkış akımı için
y2=C0X2+C1X1+C2Y1 6. 5
C0= 6. 6
C1= 6. 7
C2= 6. 8
D=K-Ka+0. 5Dt 6. 9
Hesaplarda dikkat edilmesi gereken K ve Dt nin aynı birimlerde olması, C0, C1, C2 katsayıları toplamının da 1 olması gerektiğidir. K, Dt ve x ‘in bilinmesiyle C0, C1, C2 hesaplanabilir. (6. 5) denkleminin peşpeşe gelen zaman artışları için çözülmesi ile öteleme operasyonu başarıya ulaşır. Eğer önceki giriş debileri biliniyorsa, herhangi bir zamandaki çıkış debilerinin hesaplanması mümkündür.
Yn=C0Xn+C1Xn-1+C2Yn-1 6. 10
(4, 1, 10)
6. 1. 2. SCS Modeli
Akarsu parçasının Dx uzunluğu ve ötelemede kullanılan Dt zaman aralığı uygun şekilde seçilirse zaman aralığının sonundaki y2 çıkış debisi zaman aralığının başındaki x1 ve y1 debileri arasında kalacaktır. Hidrografın yükselme bölgesinde
x1³y2³y1, alçalma bölgesinde x1£y2£y1 olacaktır. Buna göre y2 debisi, için şu denklem yazılır;
6. 11
Burada c değeri 0 ile 1 arsında değişen bir katsayıdır. Muskingum denklemi ile karşılaştırılırsa x2’nin bulunmadığı görülür. (C0=0) akımın geçiş süresi yine K ile gösterilirse ;
6. 12
yazılabilir. 6. 11 ve 6. 12 denklemlerinden Dt = CK olduğu görülür. C katsayısının değerini belirlemek için akarsu parçasının akım hızı V, dalga yayılma hızı U ile gösterilirse ;
6. 13
alınabilir (V’nin birimi m/sn). Muskingum da ki a parametresine bağlı olarak
6. 14
ifadesi de kullanılabilir.
K ve C katsayıları belirlendikten sonra öteleme hesaplarındaki zaman aralığı Dt hesaplanır. Öteleme sırasında taşkın pikinin sönümlenmesini gözleyebilmek için Dt giriş hidrografının yükselme süresinin 1/5’inden büyük olmamalıdır. Akarsu parçasının uzunluğu ;
Dx=K. V 6. 15
olacak şekilde seçilir.
Yukarıdaki formüllerde geçen akım hızı (V), akım derinliği ile değişmektedir. Uygulamada bu değişme göz önüne alınmamakla birlikte V hızını giriş hidrografına bağlı olarak seçmek uygun olur. V hızı giriş hidrografında pik debinin yarısından büyük olan debilere karşı gelen hızların ortalaması olarak alınabilir, daha basit olarak pik debinin 0. 75’ine eşit olan debiye karşı gelen hız kullanılır. (4)
6. 2. Hidrolik (Yayılı) Modeller
Bölüm 2’de elde edilmiş olan süreklilik ve momentum denklemleri hidrolik modellerin çözümünde kullanılan denklemlerdir.
(süreklilik)
. (momentum)
Momentum denkleminde ilk terim yerel ivmeyi, ikinci terim konvektif ivmeyi, üçüncü terim basınç kuvvetini, dördüncü terim yerçekimi kuvvetini ve son terim sürtünme kuvvetini verir. Denklem takımını çözülmesi güç olduğundan çözüm için bazı terimler ihmal edilebilir. Buna göre kurulmuş olan şu hidrolik modeller mevcuttur; (4)
Kinematik dalga modeli
Difüzyon dalga modeli
Dinamik dalga modeli
Muskingum-Cunge dalga modeli
6. 2. 1. Kinematik Dalga Modeli
Kinematik dalga teoremi; sürtünme eğiminin kanal yatak eğimi ile dengelendiği, düzgün kararlı akım şartlarındaki hareketin denklemi varsayımına dayanır. Bu yaklaşım birinci tür konvektif-difüzyon denklemine öncülük eder. Düzgün, kararlı akımdan anlaşılan tek değerli debi-alan ilişkisinin varlığıdır. Böylelikle kinematik dalga denklemi, difüzyonu değil, sadece konveksiyonu açıklar. Difüzyon unsuru birinci tür yaklaşımda kaybolmuştur.
Kinematik dalga teorisinde yer alan kavramlar aşağıdadır:
Sadelik açısından kanal sürtünmesi Chezy denkleminden alınır
6. 16
burada u hızı; C Chezy’nin sürtünme katsayısını; R hidrolik yarıçap; Sf de sürtünme eğimini ifade eder. Kinematik dalga modelinin yaklaşımında ;modelin temeli olan So kanal yatak eğiminin, Sf sürtünme eğimine eşit olduğudur. O halde u hız denklemi şu hale gelir;
6. 17
Burada R hidrolik yarıçap (A/P), A akış alanı, P de ıslak çevredir. Q suyun debisi olmak üzere
Q=u. A ‘dır.
6. 18
6. 19
şeklini alır. k, kanal için bir sabittir.
Yanal debisiz süreklilik denklemi ;
idi.
6. 20
geniş bir kanal için 6. 18 denklemi
6. 21
6. 21 denklemi, 6. 20’de yerine konursa ve her ikisi birden süreklilik denkleminde yerleştirilirse
6. 22
burada; c = 3Q/2A
Denklem 6. 22 kinematik dalga denklemidir. Sadece konvektif dalga yayılma hızı, bir kanal boyunca sabit olduğunda, debiye bakılmaksızın, denklem lineer olur. Aslında, kararsız, üniform olmayan akım şartlarına bağlı olarak, kanal hassasiyeti boyunca değişim gösterir. Fakat sabit dalga yayılım hızı c, kinematik dalga teorisi formülasyonunda kararlı, uniform akım varsayımı ile tutarlıdır. Böylece, konvektif dalga yayılım hızı c sabit, kinematik dalga denklemi de lineer kabul edilir.
Kinematik dalga tecrübeleri, yeni teorik çalışmalarla desteklenmiştir. Bu çalışmalar ya yatak eğiminin ya da taşkın süresinin geniş olduğu durumlarda uygulanabilir olduğunu göstermiştir. Böylece yüzeysel akış geniş yatak eğimlerinden dolayı kinematik akım gibi modellenebilir. Keza, çok yavaş yükselen taşkın olayları da (geniş zamanlı taşkın dalgası) kinematik akım gibi modellenebilir. (7, 1, 8)
6. 2. 2. Difüzyon Dalga Modeli
Difüzyon dalga modeli hareket denkleminde ki atalet terimlerinin diğer terimlerle kıyaslandığında ihmal edilebilir olduğu varsayımına dayanır. Sürtünme eğimi, su yüzü eğimi ile dengelenmiştir. Bu varsayım debi ile alan arasında tekil olmayan (döngülü) bir ilişkiden bahseden ikinci tür konvektif-difüzyon denklemine girer. Difüzyon dalga modeli, kinematik modelden farklı olarak, konveksiyona ve difüzyona izin verir.
Konveksiyon –difüzyon denklemi debi cinsinden ifade edilir;
6. 23
Burada c; difüzyon dalgalarının konvektif seleritesi
m; difüzyon katsayısı
Eğer c ve m birer sabit olarak alınırsa denklem 6. 23 lineer bir ikinci tür kısmi diferansiyel denklemine dönüşür. m =0 için 6. 23 denklemi 6. 22 denklemine eşit olur. Bu yüzden, c kinematik dalgalarda olduğu gibi difüzyon dalgalarında da konvektif seleritesidir. Difüzyon katsayısı m şu şekildedir;
m= 6. 24
Burada ;
Q0; debi
B0; kanal genişliği
S0; kanal yatak eğimi
Sürtünme eğiminin yatak eğimi yerine su yüzü eğimi ile dengelenmesi difüzyon dalga modelini bir tür kinematik dalga yaklaşımına indirger, böylelikle uygulanabilirlik oranını artırır. Fakat atalet terimlerinin önem kazandığı ve ihmalinin doğru olmadığı durumlarda model yıkılır. Pratikte bunun anlamı difüzyon dalga modelinin hızlı yükselen taşkınlar için kısaca ifadeleri için daha komplike modellerin gerektiği, örneğin bütünüyle Saint Venant denklemlerine dayanan, durumlarda difüzyon dalga modeli yıkılacaktır.
6. 2. 3. Dinamik Dalga Modeli
Akarsu yatağının eğimini büyük olmaması (10-3, 10-4’den küçük olması) ve akım yönüne ters yönde yayılan kabarma etkilerinin (baraj hazneleri, yan kollar, kesit daralması, köprüler) bulunması halinde yerçekimi ve sürtünme kuvvetlerinin yanında basınç ve atalet kuvvetleri de önem taşıyacağından momentum denklemindeki tüm terimleri göz önüne almak gerekir. Buna dinamik model adı verilir.
Bir akarsuda zamanla değişen, üniform olmayan akımların incelenmesinde çeşitli güçlüklerle karşılaşılır. Böyle bir akımda üniform akımda olduğu gibi seviye ile debi arasında tek değerli bir ilişki görülmez, seviye debini yanında enerji çizgisinin eğimine de bağlı olur (şekil 6). Taşkın sırasında akımın ana yataktan sel yatağına yayılması problemi daha da karmaşık bir hale getirir. Yan kollar, baraj hazneleri, köprüler ve kesit değişmeleri de su yüzeyinde kabarma etkileri oluşturur. Bu gibi olaylar Saint. Venant denklemleri ile incelenir. Bu denklemlerin analitik çözümleri elde edilemediğinden sonlu fark yöntemleri kullanmak gerekir. (1, 4, 8)
6. 25
şeklinde yazılan Saint-Venant denklemlerini sonlu fark şemasıyla çözmek gerekir.
6. 2. 4. Muskingum-Cunge Dalga Modeli
Muskingum metodunun geliştirilmiş şekline Muskingum-cunge metodu denir.
Muskingum-Cunge metodunda taşkın dalgasının yayılım zamanını ifade eden K parametresi şöyle tanımlanır;
K= 6. 26
Burada Dx taşkın dalgasının ulaşım uzunluğu, c ise taşkın dalgasının seleritesidir. x ise ulaşım uzunluğu sonunda ki nümerik sönümlenmenin bir ölçüsüdür ve şöyle tanımlanır:
X= 6. 27
Burada qo; birim kanal genişliğindeki su debisi So ise kanal yatak eğimidir. Muskingum metodunda, yer-zaman sonlu fark şemasından debi şu şekilde hesaplanır;
Q jn+1 Qn+1j+1
Qnj Qnj+1
Sonlu Fark Şeması
6. 28
Burada; Dt ötelenme periyodu olarak tanımlanırken; C1, C2, C3 katsayıları şöyle tanımlanır;
6. 29
6. 30
6. 31
Cunge ‘un buldukları esas olmak üzere Ponce da debisini, K, X ve ötelenme debisi Dt ‘nin değişik varyasyonları ile hesaplamaya çalışmıştır. Onların bu çalışması daha sonra Muskingum formülasyonu olarak bilinen sayısal sönümlenmenin doğasını açıklar.
Mühendislik uygulamalarında Muskingum metodu geniş yer almaktadır. Geçmiş tecrübeler, uzun süreli taşkınlar için metodun uygulanabilir olduğunu göstermektedir. Metot, aynı ortak teorik esaslara dayanan difüzyon dalga modeli ile eşit düzeyde uygulanabilirliğe sahiptir. (1, 8)
7. SONUÇLAR
Bir taşkının akarsu boyunca ilerlemesi sırasında üniform olmayan ve zamanla değişen bir akım yer alır. Bu olayın incelenmesinde kullanılan metotlardan hidrolojik metot süreklilik denklemine ve bazı kabullere dayanırken, hidrolik metot süreklilik ve hareket denklemlerinden her ikisine birden dayanır. Hidrolik metotta denklemler çok karmaşık bir hal aldığından basitleştirmeler yapılır ve denklemlerin çözümünde sayısal analiz metotları ve bilgisayarlar kullanılır.
Hidrolojik modeller bazı varsayımlara dayandığından olayın denklemleri basittir ve çözümü kolaydır fakat bu modeller kesin sonuç vermekten uzaktırlar. Hidrolik modellerde ise modele göre kabuller yapılır ve buna göre denklemler çözülür. Ama tecrübeler modellerin, havza eğimine ve taşkın dalgasının parametrelerine göre farklılaşacağını göstermiştir. Örneğin kinematik dalga modelinin verdiği sonuçlar dinamik dalga modelinin sonuçlarına göre hatası akarsu taban eğiminin küçük (0. 001’in altında) ve taşkın dalgasının yükselme zamanının kısa olması halinde artar. Bu nedenle kinematik model yağıştan sonra akarsu havzasındaki yüzeysel akış için kullanılmaktadır. Buna karşılık hidrografın yükselme zamanının 2 saatten büyük olması halinde ve taban eğimi büyük olan akarsularda Muskingum-Cunge modeli iyi sonuç vermektedir. Eğer momentum denklemindeki tüm terimler göz önüne alınırsa dinamik dalga modeli elde edilir. Akarsu yatak eğiminin küçük olması durumunda ve akarsuya eklenen yan kollar ya da kesit değişimleri söz konusu ise bu model kullanılır. En yaklaşık sonucu veren modeldir.
6. 1. Hidrolojik (Toplu) Modeller
Hidrolojik modellerle akım ötelenirken akarsu uygun uzunlukta parçalara ayrılır. Akarsuyun en yukarısındaki parçadan başlayarak sırayla her bir parça için giriş hidrografı bilindiğine göre çıkış hidrografı hesaplanır. Elde edilen çıkış hidrografı bundan sonraki parçanın giriş hidrografı olarak hesaplar sürdürülür.
Akarsuyun bir parçasına giren akımın hidrografı x (t), bu parçadan çıkan akımın hidrografı y (t), bu parçada birikmiş su hacmi de S (t) ile gösterilirse süreklilik denklemi
6. 1
x ve y verileri biliniyorsa S fonksiyonu hesaplanabilir. X (t) > y (t) olan bölgede
dS/dt >0 olacağından akarsuda depolanan hacim artacaktır. Depolanan hacim bir maksimumdan geçtikten sonra y (t) > x (t) olan bölgede dS < 0 olacağından azalmaya başlar, bu bölgede akarsu da depolanmış olan su boşalmaktadır. (7)
Şekil 5 Bir akarsu parçasına giren ve çıkan akımların hidrograflarından biriktirme hacminin hesabı
Giriş ve çıkış hidrografları arasındaki fark şekil 5’te taralı alanla belirtilen, süreklilik denkleminde gösterilen kanal boyunca oluşan depolamadaki değişim hızına eşittir. Depolama artarken süreklilik denkleminde ki değeri pozitiftir ve depolama düşerken negatiftir. Burada depolama S zamanın bir fonksiyonu olarak çizilebilir. Süreklilik denklemi (6.1) sonlu farklar formuyla 6. 2 deki gibi yazılabilir, burada Dt ötelenme zamanı periyodunu, 1ve 2 alt indisleri ise periyodun başlangıç ve bitiş zamanını belirtir.
6. 2
Eğer bir nehir boyundaki depolama çıkış debisine göre çizilmişse sonuç eğrisi genellikle şekil 6’da gösterildiği gibi bir döngü biçimini alır. Bu döngü sonuçları, verilen bir çıkış hidrografında yükselme seviyesinde, iniş seviyesine göre daha fazla depolama olduğunu göstermektedir. Taşkın dalgasının geçişi sırasında değişik zamanlara ait su yüzü profilleri için prizma ve kama depolama tanımlarının faydası olacaktır. Bu şekil 7’de gösterilmiştir. Kama depolamadaki büyük hacim, çıkış debisi artmazdan önceki yükselen seviyelerde ortaya çıkar. Düşen seviyede ise, giriş debisi çıkış debisinden daha hızlı düştüğünden kama depolama negatif olur. Böylelikle nehir ve kanallardaki hidrolojik öteleme kama depolamaya izin veren bir depolama bağıntısını gerektirir. Bu ise taşkın öteleme metodu Muskingum da depolamanın hem giriş hem de çıkış debilerinin fonksiyonu olmasına olanak sağlanarak başarıya ulaşmıştır. (1)
Şekil 6 Biriktirme hacmi ile çıkan akım arasındaki ilişki
Şekil 7 Bir taşkın dalgasının geçişi sırasında çeşitli anlarda su yüzü profilleri
6. 1. 1. Muskingum Modeli
Hidrografın akarsu boyunca ötelenmesi için en çok kullanılan hidrolojik bir modeldir. İlk olarak 1938 yılında McCarty tarafından geliştirilmiştir. Muskingum metodu adı gibi, Ohio ‘daki Muskingum nehrindeki taşkın kontrol planlarından ortaya çıkmıştır. Metod, giriş, çıkış, depolama arasında lineer bir bağlantı olduğunu örnekler.
Bir hidrografın akarsu boyunca hidrolojik metotla ötelenmesi, göz önüne alınan akarsu parçasına (6. 1) süreklilik denkleminin uygulanmasına dayanır.
Bu denklem sonlu farklarla yazılırsa, 6. 2 denklemi elde edilir. Bu denklemi biraz tanımlayacak olursak; Dt zaman aralığının başlangıcında giren akış x1, çıkan akış y1, depolanmış hacim S1 ile Dt zaman aralığının sonunda giren akış x2, çıkan akış y2, depolanmış hacim S2 ile ifade edilir;
Akarsuda birikmiş hacim gerek giren, gerekse çıkan akışlara bağlıdır. Muskingum metodunda bu bağlılık için şu kabul yapılır:
6. 3
Bu kabul Chow tarafından 1959 da şöyle geliştirilmiştir. (a yerine x, x yerine I, y yerine O notasyonları yapılmıştır. )
6. 4
Burada giriş ve çıkış debileri Manning denkleminden ayn olarak ifade edilir, a ve n birer sabittir. Geçiş sırasındaki depolama ise bym , b ve m sabit, ile ifade edilir. X parametresi ise geçiş sırasındaki depolama hacmini bulurken, giriş ve çıkış debileri arasındaki ağırlı oranını tanımlar. Muskingum metodu m/n = 1 ve b/a = K olduğunu varsayar ve 6. 3 lineer denklemini verir. (1, 10)
Geleneksel Muskingum metodu şöyle başlar. Öncelikle, ölçülmüş datalardan K ve a parametreleri tahmin edilir ve giriş, çıkış, depolama arasındaki lineer ilişki belirlenir. Bunlar belirlendikten sonra metodun hazne ötelenmesinden bir farkı kalmaz. Bir I-O-S bağıntısı denklem 4. 19 da yer alan N-I-O ilişkisine öncülük eder. Bir N-I-O ilişkisinde O ‘nun ilk değeri, N’nin ilk değerini elde etmede kullanılır ve denklem 4. 20 ile N’nin sonraki değeri bulunur. Yeni bulunan N değeri, bir sonraki adımda ilk değer olarak kullanılır ve sonraki O değerleri bulunur.
Bu metotta beliren problem 4. 21 ‘deki K, x parametrelerinin hassasiyetidir. Bu parametreler genellikle ölçülmüş dataların kalibrasyonundan elde edilir. Aynı parametrelerin elde edildiği nehirden farklı koşullarda ki bir nehirde uygulanması durumunda bu parametrelerin kullanımında büyük önem sarf edilmelidir.
6. 3 denkleminde; K geçiş süresi sabiti, a ise değeri 0 ile 0, 5 arasında değişen ağırlık faktörüdür.
Depolamanın sadece çıkış debisine bağlı olduğu hazne ötelemesi (hidrografın su yüzeyinin yatay olduğu) durumlarında, denklem (6.3) de a = 0 olur. Düzgün uniform kanallarda, a=0. 5 alınır yani giriş ve çıkış debilerinin birbirine eşit olduğu kabul edilir. Teorik olarak taşkın dalgasının girdiği gibi çıktığı kabul edilir. Pek çok doğal nehirde tipik olarak a = 0. 2’ye yakın olmak üzere. 0 ile 0. 3 arasında değişir. Modelin sonuçları a için kabul edilen değere fazla duyarlı olmadığından bu katsayının belirlenmesinde büyük bir doğruluk gerekmez. (4)
Yine de ve K katsayılarının değerlerini bulmak için basit bir yol, a ‘ya çeşitli değerler verip bu değerlere göre hesaplanan ifadesi ile S arasındaki bağıntıyı çizmektir. Bu bağıntının doğruya en fazla yaklaşmasını sağlayan a değeri aranan değerdir, elde edilen doğrunun eğimi de K değerini verir. (3)
Muskingum modelinde akarsu uygun uzunlukta parçalara ayrılırken, bu parçaların her birinde akarsuyun özellikleri (kesit, eğim, pürüzlülük) yaklaşık olarak sabit olmalıdır. Dt zaman aralığı taşkın dalgasının akarsu parçasından geçmesi için gerekli süreden daha küçük seçilmelidir ki, hidrografın pik noktası Dt zaman aralığı içinde akarsu parçasını geçemesin. Dt’yi hidrografın akarsu parçasını geçiş süresinin 1/3-1/2’ si kadar seçmek uygun olabilir, Dt değeri 2aK ile K arasında kalmalıdır.
Muskingum modeli taban eğimi yüksek olan akımlarda ve hidrografın yükselme süresinin büyük olması halinde iyi sonuç verir
Hidrografı ötelerken söz konusu akarsu parçası, içinde akarsuya kollarından katılan akımları da göz önüne almak gerekir. Kol akarsuya o akarsu parçasının menbaya yakın bir yerinde katılıyorsa getirdiği akımlar giriş hidrografına eklenebilir. Kol akarsuya akarsu parçasının mansaba yakın bir yerinde katılıyorsa o parça için çıkış hidrografı hesaplandıktan sonra kolun getirdiği akımlar bu hidrografa eklenir. Daha genel olarak kolun getirdiği akım uygun oranda iki kısma ayrılıp biri menbada, biri mansapta hesaba katılabilir.
Akarsu parçası için a ve K parametreleri belirlendikten sonra 6. 2 denklemi ile 6. 3 denklemleri birleştirilirse Dt zaman aralığının sonundaki y2 çıkış akımı için
y2=C0X2+C1X1+C2Y1 6. 5
C0= 6. 6
C1= 6. 7
C2= 6. 8
D=K-Ka+0. 5Dt 6. 9
Hesaplarda dikkat edilmesi gereken K ve Dt nin aynı birimlerde olması, C0, C1, C2 katsayıları toplamının da 1 olması gerektiğidir. K, Dt ve x ‘in bilinmesiyle C0, C1, C2 hesaplanabilir. (6. 5) denkleminin peşpeşe gelen zaman artışları için çözülmesi ile öteleme operasyonu başarıya ulaşır. Eğer önceki giriş debileri biliniyorsa, herhangi bir zamandaki çıkış debilerinin hesaplanması mümkündür.
Yn=C0Xn+C1Xn-1+C2Yn-1 6. 10
(4, 1, 10)
6. 1. 2. SCS Modeli
Akarsu parçasının Dx uzunluğu ve ötelemede kullanılan Dt zaman aralığı uygun şekilde seçilirse zaman aralığının sonundaki y2 çıkış debisi zaman aralığının başındaki x1 ve y1 debileri arasında kalacaktır. Hidrografın yükselme bölgesinde
x1³y2³y1, alçalma bölgesinde x1£y2£y1 olacaktır. Buna göre y2 debisi, için şu denklem yazılır;
6. 11
Burada c değeri 0 ile 1 arsında değişen bir katsayıdır. Muskingum denklemi ile karşılaştırılırsa x2’nin bulunmadığı görülür. (C0=0) akımın geçiş süresi yine K ile gösterilirse ;
6. 12
yazılabilir. 6. 11 ve 6. 12 denklemlerinden Dt = CK olduğu görülür. C katsayısının değerini belirlemek için akarsu parçasının akım hızı V, dalga yayılma hızı U ile gösterilirse ;
6. 13
alınabilir (V’nin birimi m/sn). Muskingum da ki a parametresine bağlı olarak
6. 14
ifadesi de kullanılabilir.
K ve C katsayıları belirlendikten sonra öteleme hesaplarındaki zaman aralığı Dt hesaplanır. Öteleme sırasında taşkın pikinin sönümlenmesini gözleyebilmek için Dt giriş hidrografının yükselme süresinin 1/5’inden büyük olmamalıdır. Akarsu parçasının uzunluğu ;
Dx=K. V 6. 15
olacak şekilde seçilir.
Yukarıdaki formüllerde geçen akım hızı (V), akım derinliği ile değişmektedir. Uygulamada bu değişme göz önüne alınmamakla birlikte V hızını giriş hidrografına bağlı olarak seçmek uygun olur. V hızı giriş hidrografında pik debinin yarısından büyük olan debilere karşı gelen hızların ortalaması olarak alınabilir, daha basit olarak pik debinin 0. 75’ine eşit olan debiye karşı gelen hız kullanılır. (4)
6. 2. Hidrolik (Yayılı) Modeller
Bölüm 2’de elde edilmiş olan süreklilik ve momentum denklemleri hidrolik modellerin çözümünde kullanılan denklemlerdir.
(süreklilik)
. (momentum)
Momentum denkleminde ilk terim yerel ivmeyi, ikinci terim konvektif ivmeyi, üçüncü terim basınç kuvvetini, dördüncü terim yerçekimi kuvvetini ve son terim sürtünme kuvvetini verir. Denklem takımını çözülmesi güç olduğundan çözüm için bazı terimler ihmal edilebilir. Buna göre kurulmuş olan şu hidrolik modeller mevcuttur; (4)
Kinematik dalga modeli
Difüzyon dalga modeli
Dinamik dalga modeli
Muskingum-Cunge dalga modeli
6. 2. 1. Kinematik Dalga Modeli
Kinematik dalga teoremi; sürtünme eğiminin kanal yatak eğimi ile dengelendiği, düzgün kararlı akım şartlarındaki hareketin denklemi varsayımına dayanır. Bu yaklaşım birinci tür konvektif-difüzyon denklemine öncülük eder. Düzgün, kararlı akımdan anlaşılan tek değerli debi-alan ilişkisinin varlığıdır. Böylelikle kinematik dalga denklemi, difüzyonu değil, sadece konveksiyonu açıklar. Difüzyon unsuru birinci tür yaklaşımda kaybolmuştur.
Kinematik dalga teorisinde yer alan kavramlar aşağıdadır:
Sadelik açısından kanal sürtünmesi Chezy denkleminden alınır
6. 16
burada u hızı; C Chezy’nin sürtünme katsayısını; R hidrolik yarıçap; Sf de sürtünme eğimini ifade eder. Kinematik dalga modelinin yaklaşımında ;modelin temeli olan So kanal yatak eğiminin, Sf sürtünme eğimine eşit olduğudur. O halde u hız denklemi şu hale gelir;
6. 17
Burada R hidrolik yarıçap (A/P), A akış alanı, P de ıslak çevredir. Q suyun debisi olmak üzere
Q=u. A ‘dır.
6. 18
6. 19
şeklini alır. k, kanal için bir sabittir.
Yanal debisiz süreklilik denklemi ;
idi.
6. 20
geniş bir kanal için 6. 18 denklemi
6. 21
6. 21 denklemi, 6. 20’de yerine konursa ve her ikisi birden süreklilik denkleminde yerleştirilirse
6. 22
burada; c = 3Q/2A
Denklem 6. 22 kinematik dalga denklemidir. Sadece konvektif dalga yayılma hızı, bir kanal boyunca sabit olduğunda, debiye bakılmaksızın, denklem lineer olur. Aslında, kararsız, üniform olmayan akım şartlarına bağlı olarak, kanal hassasiyeti boyunca değişim gösterir. Fakat sabit dalga yayılım hızı c, kinematik dalga teorisi formülasyonunda kararlı, uniform akım varsayımı ile tutarlıdır. Böylece, konvektif dalga yayılım hızı c sabit, kinematik dalga denklemi de lineer kabul edilir.
Kinematik dalga tecrübeleri, yeni teorik çalışmalarla desteklenmiştir. Bu çalışmalar ya yatak eğiminin ya da taşkın süresinin geniş olduğu durumlarda uygulanabilir olduğunu göstermiştir. Böylece yüzeysel akış geniş yatak eğimlerinden dolayı kinematik akım gibi modellenebilir. Keza, çok yavaş yükselen taşkın olayları da (geniş zamanlı taşkın dalgası) kinematik akım gibi modellenebilir. (7, 1, 8)
6. 2. 2. Difüzyon Dalga Modeli
Difüzyon dalga modeli hareket denkleminde ki atalet terimlerinin diğer terimlerle kıyaslandığında ihmal edilebilir olduğu varsayımına dayanır. Sürtünme eğimi, su yüzü eğimi ile dengelenmiştir. Bu varsayım debi ile alan arasında tekil olmayan (döngülü) bir ilişkiden bahseden ikinci tür konvektif-difüzyon denklemine girer. Difüzyon dalga modeli, kinematik modelden farklı olarak, konveksiyona ve difüzyona izin verir.
Konveksiyon –difüzyon denklemi debi cinsinden ifade edilir;
6. 23
Burada c; difüzyon dalgalarının konvektif seleritesi
m; difüzyon katsayısı
Eğer c ve m birer sabit olarak alınırsa denklem 6. 23 lineer bir ikinci tür kısmi diferansiyel denklemine dönüşür. m =0 için 6. 23 denklemi 6. 22 denklemine eşit olur. Bu yüzden, c kinematik dalgalarda olduğu gibi difüzyon dalgalarında da konvektif seleritesidir. Difüzyon katsayısı m şu şekildedir;
m= 6. 24
Burada ;
Q0; debi
B0; kanal genişliği
S0; kanal yatak eğimi
Sürtünme eğiminin yatak eğimi yerine su yüzü eğimi ile dengelenmesi difüzyon dalga modelini bir tür kinematik dalga yaklaşımına indirger, böylelikle uygulanabilirlik oranını artırır. Fakat atalet terimlerinin önem kazandığı ve ihmalinin doğru olmadığı durumlarda model yıkılır. Pratikte bunun anlamı difüzyon dalga modelinin hızlı yükselen taşkınlar için kısaca ifadeleri için daha komplike modellerin gerektiği, örneğin bütünüyle Saint Venant denklemlerine dayanan, durumlarda difüzyon dalga modeli yıkılacaktır.
6. 2. 3. Dinamik Dalga Modeli
Akarsu yatağının eğimini büyük olmaması (10-3, 10-4’den küçük olması) ve akım yönüne ters yönde yayılan kabarma etkilerinin (baraj hazneleri, yan kollar, kesit daralması, köprüler) bulunması halinde yerçekimi ve sürtünme kuvvetlerinin yanında basınç ve atalet kuvvetleri de önem taşıyacağından momentum denklemindeki tüm terimleri göz önüne almak gerekir. Buna dinamik model adı verilir.
Bir akarsuda zamanla değişen, üniform olmayan akımların incelenmesinde çeşitli güçlüklerle karşılaşılır. Böyle bir akımda üniform akımda olduğu gibi seviye ile debi arasında tek değerli bir ilişki görülmez, seviye debini yanında enerji çizgisinin eğimine de bağlı olur (şekil 6). Taşkın sırasında akımın ana yataktan sel yatağına yayılması problemi daha da karmaşık bir hale getirir. Yan kollar, baraj hazneleri, köprüler ve kesit değişmeleri de su yüzeyinde kabarma etkileri oluşturur. Bu gibi olaylar Saint. Venant denklemleri ile incelenir. Bu denklemlerin analitik çözümleri elde edilemediğinden sonlu fark yöntemleri kullanmak gerekir. (1, 4, 8)
6. 25
şeklinde yazılan Saint-Venant denklemlerini sonlu fark şemasıyla çözmek gerekir.
6. 2. 4. Muskingum-Cunge Dalga Modeli
Muskingum metodunun geliştirilmiş şekline Muskingum-cunge metodu denir.
Muskingum-Cunge metodunda taşkın dalgasının yayılım zamanını ifade eden K parametresi şöyle tanımlanır;
K= 6. 26
Burada Dx taşkın dalgasının ulaşım uzunluğu, c ise taşkın dalgasının seleritesidir. x ise ulaşım uzunluğu sonunda ki nümerik sönümlenmenin bir ölçüsüdür ve şöyle tanımlanır:
X= 6. 27
Burada qo; birim kanal genişliğindeki su debisi So ise kanal yatak eğimidir. Muskingum metodunda, yer-zaman sonlu fark şemasından debi şu şekilde hesaplanır;
Q jn+1 Qn+1j+1
Qnj Qnj+1
Sonlu Fark Şeması
6. 28
Burada; Dt ötelenme periyodu olarak tanımlanırken; C1, C2, C3 katsayıları şöyle tanımlanır;
6. 29
6. 30
6. 31
Cunge ‘un buldukları esas olmak üzere Ponce da debisini, K, X ve ötelenme debisi Dt ‘nin değişik varyasyonları ile hesaplamaya çalışmıştır. Onların bu çalışması daha sonra Muskingum formülasyonu olarak bilinen sayısal sönümlenmenin doğasını açıklar.
Mühendislik uygulamalarında Muskingum metodu geniş yer almaktadır. Geçmiş tecrübeler, uzun süreli taşkınlar için metodun uygulanabilir olduğunu göstermektedir. Metot, aynı ortak teorik esaslara dayanan difüzyon dalga modeli ile eşit düzeyde uygulanabilirliğe sahiptir. (1, 8)
7. SONUÇLAR
Bir taşkının akarsu boyunca ilerlemesi sırasında üniform olmayan ve zamanla değişen bir akım yer alır. Bu olayın incelenmesinde kullanılan metotlardan hidrolojik metot süreklilik denklemine ve bazı kabullere dayanırken, hidrolik metot süreklilik ve hareket denklemlerinden her ikisine birden dayanır. Hidrolik metotta denklemler çok karmaşık bir hal aldığından basitleştirmeler yapılır ve denklemlerin çözümünde sayısal analiz metotları ve bilgisayarlar kullanılır.
Hidrolojik modeller bazı varsayımlara dayandığından olayın denklemleri basittir ve çözümü kolaydır fakat bu modeller kesin sonuç vermekten uzaktırlar. Hidrolik modellerde ise modele göre kabuller yapılır ve buna göre denklemler çözülür. Ama tecrübeler modellerin, havza eğimine ve taşkın dalgasının parametrelerine göre farklılaşacağını göstermiştir. Örneğin kinematik dalga modelinin verdiği sonuçlar dinamik dalga modelinin sonuçlarına göre hatası akarsu taban eğiminin küçük (0. 001’in altında) ve taşkın dalgasının yükselme zamanının kısa olması halinde artar. Bu nedenle kinematik model yağıştan sonra akarsu havzasındaki yüzeysel akış için kullanılmaktadır. Buna karşılık hidrografın yükselme zamanının 2 saatten büyük olması halinde ve taban eğimi büyük olan akarsularda Muskingum-Cunge modeli iyi sonuç vermektedir. Eğer momentum denklemindeki tüm terimler göz önüne alınırsa dinamik dalga modeli elde edilir. Akarsu yatak eğiminin küçük olması durumunda ve akarsuya eklenen yan kollar ya da kesit değişimleri söz konusu ise bu model kullanılır. En yaklaşık sonucu veren modeldir.
