İkili İşlem

[QweStyle]

HERAKLES Otomatik Avlı kalıcı sunucu. 19 Haziran'da açılıyor. Atius & Wizard güvencesiyle hemen kayıt ol, ön kayıt ödülleri aktif. HEMEN TIKLA!

kümesinden X kümesine giden bir fonksiyona X kümesi üzerine ikili işlemdenir. İkili işlemi

olarak gösterirsek, f(x,y) yerine genellikle x +y,

,

ya da daha yaygın olarak xy yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her

için, işlemin sonucu olan

elemanının geneX kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin, X= N(doğal sayılar kümesi) ise, x − y işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir, çünkü, örneğin, 5 − 7 bir doğal sayı değildir. Öte yandan

olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.
İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.
x + y yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her

için

olduğunda kullanılır.
İşlemlerde genellikle her

elemanı için

eşitliği aranır, çünkü yoksa hayat çok zor olur, örneğin x3 elemanından rahatça (yani özel bir tanıma gerek kalmadan) söz edebilmek için

eşitliği geçerli olmalıdır. Bu özelliğe birleşme özelliği adı verilir.
Eğer her

için ex = x eşitliğini sağlayan bir

elemanı varsa, e'ye işlemin soldan etkisiz elemanı adı verilir. Sağdan etkisiz eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan etkisiz elemanlar eşit olmak zorundadırlar, nitekim eğer e soldan, f de sağdan etkisizse f = ef = eolur. Öte yandan bir işlemde sağdan etkisiz eleman yoksa birden fazla soldan etkisiz eleman olabilir. Örneğin

olarak tanımlanan işlemde her

soldan etkisizdir; ve eğer kümede birden fazla eleman varsa bu işlemin sağdan etkisiz elemanı yoktur. Sağdan ve soldan etkisiz olan elemana kısaca etkisiz eleman denir.
Eğer her

için ax = a ise a'ya soldan yutan eleman denir. Sağdan yutan eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan yutan elemanlar - olduklarında - eşittirler, çünkü eğer a soldan, b de sağdan yutansa, o zaman a =ab = b olur.
Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşke işlemidir. Eğer Xbir kümeyse, Fonk(X, X), X kümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer

Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden X kümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her

için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır ama değişmeli değildir ve ayrıca etkisiz elemanı IdX olarak gösterilen özdeşlik fonksiyonudur.​