Mutlak Değer

DeepSubjecT · 6 Şub 2014

Matematikte, mutlak değer (ya da mutlak değer fonksiyonu) bir gerçel sayının işaretsiz sayısal değerini verir. Örneğin, 3; hem 3'ün hem de −3'ün mutlak değeridir. Bilgisayarlarda ise, bu fonksiyonu ifade etmek için kullanılan matematiksel fonksiyon genelde abs(...)'dir (Örneğin: abs(−8)=|−8|=8 gibi).ama bu sadece mutlak değer fonksiyonunda geçerlidir
Mutlak değer fonksiyonunun gerçel sayılarla kullanımı dışında, geniş bir matematiksel kullanım alanı vardır. Örneğin, mutlak değer karmaşık sayılar gibi kümeler için de tanımlanabilir.

Mutlak değer fonksiyonunun gerçel sayılardaki grafiği.

Karmaşık sayılara kadar olan kısımda, verilen mutlak değer özellikleri karmaşık sayılar kümesine aynen uygulanamaz. Önerme 1'i ele alırsak:

$3622f6883b63ba71c44e2e909d4afe97.png$
her gerçel sayının bir karmaşık sayı olduğunu ve,
bir karmaşık sayının

$d9b564a7f712e9e4f3ae75cf097dfce5.png$
olduğunu düşünürsek göreceğiz ki, gerçel sayılarda y katsayısı 0'a eşit. Öyleyse gerçekte z'nin mutlak değer (ya da karmaşık sayılarda bazen modül olarak adlandırılır) şu şekilde tanımlanabilir.

$169df1db112f42e7eee054c03d491b3d.png$
Öyleyse bir gerçel sayıda bu işlemi şöyle gerçekleştirebiliriz:

$2ce788b673f0838ef8feb34e2bb28814.png$
Mutlak değer bir sayının orijine uzaklığını verir. Karmaşık sayılar iki boyutlu düzlem üzerinde incelendiğinden Pisagor teoremi iki nokta arasındaki uzaklığı bulmada işimize yarayacaktır.Karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasındaki uzunluğu bulmak içinse aynı gerçel sayılardaki gibi iki sayının farkının mutlak değerini alırız.
Karmaşık sayılar yukarıda verilen 2. ve 3. önermelerin tüm özelliklerini taşır. Bununla beraber,
$325637303f97130b83f0f0aa3e208573.png$
ise, ve
$d2868a3989efebb196c90b36596950a2.png$
z karmaşık sayısının eşlenik'i ise, açıkça görülür ki:

$09ab476ce4d0a30b1f5a273fc01bbd89.png$

$c5e117ea7c366d0443677a85d9a90afa.png$

$45d89ca8521f2f67572bd4afd8219d6e.png$