İntegral hesaplama

iGrand · 27 Kas 2013

0 < b − a < 2π olmak üzere, r(&#952

eğrisinin [a, b] kapalı aralığında kalan kısmının altında kalan alanı bulmak için, öncelikle eğri bir Riemann toplamı olarak tanımlanır.

İlk olarak, [a, b] aralığı n kadar alt aralığa bölünür (burada n, isteğe bağlı seçilmiş pozitif bir tam sayıdır). Böylece, her alt aralığın uzunluğunu temsil eden Δθ, aralığın tüm uzunluğunun (b − a) alt aralık sayısına (n) bölümüne eşit olur.
Her i = 1, 2, , n alt aralığı için θi'nin alt aralığın orta noktası olduğu kabul edilir ve merkezi kutupta, yarıçapı r(θi) ve merkezî açısı Δθ olan birer sektör çizilir.
Buna göre, çizilmiş her sektörün alanı şu denklemle verilebilir:

$fb2f5619a572830391f066b517c11e62.png$

Dolayısıyla, tüm sektörlerin toplam alanı da altta sunulan denklemle tanımlanır:

$835b814aa65151fe73db33d5be1aa4b0.png$

n alt aralıklarının sayısı ne kadar artarsa, söz konusu alanın ölçümü de gerçek alana o kadar çok yaklaşır. Böylece, [a, b] aralığındaki r(&#952

eğrisinin altında kalan alan söyle tanımlanabilir:

$445ec508f4e39146725169146ea6c3b0.png$

Bu ifade, aşağıdaki integralin Riemann toplamıdır:

$180a342535048b510b6c47ffd4888946.png$