Pascal üçgeni

[iGrand]

ROHAN2 WORLD 1-120 TR TİPİ OFFICIAL YOHARA, BALATHOR VE AMON! 80. GÜNÜNDE! +10.000 ONLİNE! HİLE VE BOT %100 ENGELLİ HEMEN TIKLA!

Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır. Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur. Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n=0'dan başlayarak numaralandırılır ve her satırdaki sayılar ise soldan itibaren k=0'dan başlayarak numaralandırılırlar. Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 4 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler çıkarılır. Eğer sağ ve sol üsttünde sayı yoksa buradaki değer 1 olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + 1 = 1'dir üçüncü satırda ise 4 ve 3 toplanarak 4. satırdaki 7 sayısını oluşturur.
Pascal kuralındaki binom katsayılarıyla ilişkili yapı aşağıdaki şekildeyse,

buradan

olur.Burada n negatif olmayan tam sayı ve k 0 ile n arasında bir tam sayıdır.
Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. 3 boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır.

Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor.


Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyamüçgeninden bahsetmişlerdir.)
Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.
Formül

,

olmak üzereÖrneğin

üçgen sayılarikinci sıradan itibaren sağdan ya da soldan üçüncü sayı üçgen sayılardır
ikinin üsleripascal üçgeninin her satırı ikinin 0 dan itibaren üslerini verir
binom açılımı(a-b) veya (a+b) parantezlerinin açılımının katsayılarını verir örnek:

yazı turakaç parayla yazı tura attıysak o satırla ilgilenecez iki parayla yazı tura attık ikinci sıradaki sayıları toplayalım 4 çıktı ikinci sıra 1-2-1 dir birinci sıradan 2 tura 0 yazı diye sayalım iki paranın ikisininde tura gelme sansı

1tura 1yazı gelme sansı

2yazı gelme sansı