HERAKLES Otomatik Avlı kalıcı sunucu. 19 Haziran'da açılıyor. Atius & Wizard güvencesiyle hemen kayıt ol, ön kayıt ödülleri aktif. HEMEN TIKLA!
Monokromatik alanların zamanla şu şekilde değiştiğini varsayalım:
. Eğer Maxwell denklemlerini B ifadesini yok etmek için kullanırsak, elektromanyetik dalga denklemi E için Helmholtz denklemine indirgenmiş olur.
Yukarıda verildiği gibi k = ω/c. Alternatif olarak, E ifadesi de B için yok edilebilir ve şu elde edilir:
Frekansı ω olan bir elektromanyetik alan bu iki denklemin toplamı olarak yazılabilir. Helmholtz denkleminin üç boyutlu çözümleri katsayıları küresel Bessel fonsiyonlarıyla orantılı olan küresel harmoniklerin açılım şeklinde ifade edilebilr. Ancak, bu açılımları E ve B ifadelerinin her bir vektörel bileşenine uygularsak çözümlerimiz diverjansları sıfır olan sonuçlar vermeyebilir. (∇ E = ∇ B= 0). Bu nedenle katsayılar üzerinde bazı sınırlamalara ihtiyaç duyarız.
Çok kutuplu açılım bu zorluğu, eğer E veya B ifadeleri yerine r E' veya r B ifadelerini küresel harmoniklerde açarsak, önleyecektir. Bu açılımlar yine Helmholtz denklemlerini E ve B için çözecektir. Divejansı sıfır olan bir alan F için ∇2 (r F) = r (∇2 F). Genel bir elektromanyetik alan için çıkan ifadeler:
,burada
ve
(l, m) derecedemn elektrik çok kutuplu alanlardır,
ve
buna karşılık gelen manyetik çok kutuplu alanlardır ve aE(l,m) ve aM(l,m) açılım katsayılarıdır. Çok kutuplu alanlar şu şekilde verilir:
,burada hl(1,2)(x) Küresel Hankel fonksiyonlarıdır, El(1,2) ve Bl(1,2) sınır koşulları kullanılarak belirlenir,
normalize edilmiş vektör küresel harmoniktir, yani:
Elektromanyetik alanın çok kutuplu açılımının küresel simetrisi olan birçok alanda uygulamasının olduğu görüyoruz. Örnek olarak, anten çizgesi veya nükleer gama ışını verilebilir. Bu uygulamalarda, birisi uzak alanda yayılan güçle ilgilidir. Bu bölgelerde E ve B alanları şunların asimptotudur:
Zaman-ortalamalı yayılan güçün açısal dağılımı şöyle bulunur:
Çok kutuplu açılım bu zorluğu, eğer E veya B ifadeleri yerine r E' veya r B ifadelerini küresel harmoniklerde açarsak, önleyecektir. Bu açılımlar yine Helmholtz denklemlerini E ve B için çözecektir. Divejansı sıfır olan bir alan F için ∇2 (r F) = r (∇2 F). Genel bir elektromanyetik alan için çıkan ifadeler:
