![[DEV]AB](/data/avatars/s/2135/2135420.jpg?1657747839){kind=avatar}
Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur. Teorem, Runge'ye ithafen isimlendirilmiştir ve şunu ifade etmektedir:
K karmaşık sayılar kümesi \mathbb{C} nin tıkız bir altkümesiyse, A kümesinin içinde \mathbb{C}\backslash K nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinin her birinden en az bir karmaşık sayı bulunuyorsa ve f fonksiyonu K üzerinde holomorfsa, o zaman kutupları A içinde olan rasyonel fonksiyonlardan oluşan bir (r_n) dizisi vardır öyle ki bu (r_n) dizisi f 'ye K üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar.
A kümesinin herhangi bir noktası, bu (r_n) dizisini oluşturan rasyonel fonksiyonların kutup noktası olmak zorunda değildir. Burada bilinen ise şudur: (r_n) dizisindeki rasyonel fonksiyonların kutupları varsa, o zaman bunlar A nın içindedir.
Bu teoremi güçlü kılan şeylerden birisi de teoremdeki A kümesinin istenilen bir şekilde seçilebilmesidir. Başka bir deyişle, \mathbb{C}\backslash K nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinden istenilen şekilde karmaşık sayılar seçilebilir. O zaman, teorem sadece bu seçilen sayılarda kutupları olan bir rasyonel fonksiyon dizisinin varlığını garanti eder.
\mathbb{C}\backslash K nin bağlantılı küme olduğu özel durumda, teoremdeki A kümesi açık bir şekilde boş olacaktır. Kutup noktaları olmayan rasyonel fonksiyonlar aslında polinomlardan başka bir şey olmadığı için, teoremin şu sonucu elde edilecektir: Eğer K, \mathbb{C} nin tıkız bir altkümesiyse, \mathbb{C}\backslash K bağlantılı bir kümeyse ve f fonksiyonu K üzerinde holomorfsa, o zaman f 'ye K üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan bir polinom dizisi (p_n) vardır.
Bu teoremin biraz daha genelleştirilmiş hali ise A kümesi Riemann küresinin, yani \mathbb{C}∪{∞} un, altkümesiyse ve ayrıca A nın (şimdi ∞'u da kapsayan) K kümesinin sınırsız bağlantılı bileşeninle kesişimi varsa elde edilir. Yani, üstte verilen formülasyonda rasyonel fonksiyonların sonsuzda kutupları var olabilirken, daha genel durumdaki formülasyonda, kutup K nin sınırsız bağlantılı bileşenindeki herhangi bir yerde seçilebilir.
K karmaşık sayılar kümesi \mathbb{C} nin tıkız bir altkümesiyse, A kümesinin içinde \mathbb{C}\backslash K nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinin her birinden en az bir karmaşık sayı bulunuyorsa ve f fonksiyonu K üzerinde holomorfsa, o zaman kutupları A içinde olan rasyonel fonksiyonlardan oluşan bir (r_n) dizisi vardır öyle ki bu (r_n) dizisi f 'ye K üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar.
A kümesinin herhangi bir noktası, bu (r_n) dizisini oluşturan rasyonel fonksiyonların kutup noktası olmak zorunda değildir. Burada bilinen ise şudur: (r_n) dizisindeki rasyonel fonksiyonların kutupları varsa, o zaman bunlar A nın içindedir.
Bu teoremi güçlü kılan şeylerden birisi de teoremdeki A kümesinin istenilen bir şekilde seçilebilmesidir. Başka bir deyişle, \mathbb{C}\backslash K nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinden istenilen şekilde karmaşık sayılar seçilebilir. O zaman, teorem sadece bu seçilen sayılarda kutupları olan bir rasyonel fonksiyon dizisinin varlığını garanti eder.
\mathbb{C}\backslash K nin bağlantılı küme olduğu özel durumda, teoremdeki A kümesi açık bir şekilde boş olacaktır. Kutup noktaları olmayan rasyonel fonksiyonlar aslında polinomlardan başka bir şey olmadığı için, teoremin şu sonucu elde edilecektir: Eğer K, \mathbb{C} nin tıkız bir altkümesiyse, \mathbb{C}\backslash K bağlantılı bir kümeyse ve f fonksiyonu K üzerinde holomorfsa, o zaman f 'ye K üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan bir polinom dizisi (p_n) vardır.
Bu teoremin biraz daha genelleştirilmiş hali ise A kümesi Riemann küresinin, yani \mathbb{C}∪{∞} un, altkümesiyse ve ayrıca A nın (şimdi ∞'u da kapsayan) K kümesinin sınırsız bağlantılı bileşeninle kesişimi varsa elde edilir. Yani, üstte verilen formülasyonda rasyonel fonksiyonların sonsuzda kutupları var olabilirken, daha genel durumdaki formülasyonda, kutup K nin sınırsız bağlantılı bileşenindeki herhangi bir yerde seçilebilir.
