- Katılım
- 7 Eyl 2009
- Konular
- 6,986
- Mesajlar
- 38,038
- Çözüm
- 1
- Online süresi
- 7d 22h
- Reaksiyon Skoru
- 1,833
- Altın Konu
- 0
- Başarım Puanı
- 494
- MmoLira
- 6,600
- DevLira
- 0
HERAKLES Otomatik Avlı kalıcı sunucu. 19 Haziran'da açılıyor. Atius & Wizard güvencesiyle hemen kayıt ol, ön kayıt ödülleri aktif. HEMEN TIKLA!
Kararlılık ve doğrusallık
1 − 1 + 1 − 1 + serisine 1⁄2 değerinin atanabilmesini olanaklı kılan oynamalar
İki seriyi terim bazında toplamak ya da çıkarmak
Serinin her terimini bir sayıyla çarpmak
Terimlerin yerlerini toplamı etkilemeyecek biçimde "değiştirmek"
Serinin başına yeni bir terim ekleyerek toplamı artırmak
olarak sıralanabilmektedir.
Bu oynamalar tüm yakınsak seriler için doğru sonuçlar üretmektedir ancak 1 − 1 + 1 − 1 + serisi yakınsak değildir.
Öte yandan, temel mantığı bu tür oynamalara dayanan ve Grandi serisine bir değer atayabilen birçok toplam yöntemi vardır. Bunlardan en basitleri kuşkusuz Cesàro toplamı ve Abel toplamıdır.[1]
Cesàro toplamı
Iraksak serilerin toplamına ilişkin ilk kalıcı yöntem 1890 yılında Ernesto Cesàro tarafından ortaya atılmıştır. Leibniz'in olasılıkçı yaklaşımına benzeyen bu yöntem bir serinin toplamını o serinin kısmi toplamlarının ortalaması olarak hesaplamaktadır. Yapılan işlem, her n değeri için σn ortalamasını hesaplamak ve n sonsuza giderken bu Cesàro ortalamalarının limitini almaktır.
Grandi serisinin aritmetik ortalamalar serisi
1, 1⁄2, 2⁄3, 2⁄4, 3⁄5, 3⁄6, 4⁄7, 4⁄8,
biçiminde ifade edilebilir.
Burada, çift n değerleri için \sigma_n=\frac12 ve tek n değerleri için \sigma_n=\frac12+\frac{1}{2n} eşitlikleri geçerlidir.
Bu seri 1⁄2'ye yakınsadığından Σak Cesàro toplamı da bu değere eşit olur. Başka bir deyişle, 0, 1, 0, 1, serisinin Cesàro limiti 1⁄2'ye eşittir.[2]
1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + serisinin Cesàro toplamı 2⁄3'tür. Bu, bir serinin Cesàro toplamının seriye sonsuz çoklukta 0 ve ayraç ekleyerek değiştirilebileceğini göstermektedir.[3]
1 − 1 + 1 − 1 + serisine 1⁄2 değerinin atanabilmesini olanaklı kılan oynamalar
İki seriyi terim bazında toplamak ya da çıkarmak
Serinin her terimini bir sayıyla çarpmak
Terimlerin yerlerini toplamı etkilemeyecek biçimde "değiştirmek"
Serinin başına yeni bir terim ekleyerek toplamı artırmak
olarak sıralanabilmektedir.
Bu oynamalar tüm yakınsak seriler için doğru sonuçlar üretmektedir ancak 1 − 1 + 1 − 1 + serisi yakınsak değildir.
Öte yandan, temel mantığı bu tür oynamalara dayanan ve Grandi serisine bir değer atayabilen birçok toplam yöntemi vardır. Bunlardan en basitleri kuşkusuz Cesàro toplamı ve Abel toplamıdır.[1]
Cesàro toplamı
Iraksak serilerin toplamına ilişkin ilk kalıcı yöntem 1890 yılında Ernesto Cesàro tarafından ortaya atılmıştır. Leibniz'in olasılıkçı yaklaşımına benzeyen bu yöntem bir serinin toplamını o serinin kısmi toplamlarının ortalaması olarak hesaplamaktadır. Yapılan işlem, her n değeri için σn ortalamasını hesaplamak ve n sonsuza giderken bu Cesàro ortalamalarının limitini almaktır.
Grandi serisinin aritmetik ortalamalar serisi
1, 1⁄2, 2⁄3, 2⁄4, 3⁄5, 3⁄6, 4⁄7, 4⁄8,
biçiminde ifade edilebilir.
Burada, çift n değerleri için \sigma_n=\frac12 ve tek n değerleri için \sigma_n=\frac12+\frac{1}{2n} eşitlikleri geçerlidir.
Bu seri 1⁄2'ye yakınsadığından Σak Cesàro toplamı da bu değere eşit olur. Başka bir deyişle, 0, 1, 0, 1, serisinin Cesàro limiti 1⁄2'ye eşittir.[2]
1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + serisinin Cesàro toplamı 2⁄3'tür. Bu, bir serinin Cesàro toplamının seriye sonsuz çoklukta 0 ve ayraç ekleyerek değiştirilebileceğini göstermektedir.[3]
