HERAKLES Otomatik Avlı kalıcı sunucu. 19 Haziran'da açılıyor. Atius & Wizard güvencesiyle hemen kayıt ol, ön kayıt ödülleri aktif. HEMEN TIKLA!
KARMAŞIK(KOMPLEKS)
SAYILAR
ax² + bx + c = 0 denkleminin Î < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 ï x² = -1 ) karesi â1 olan reel sayı yoktur.
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...
A. TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = ï-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C = { z : z = a + bi ; a, b ï R ve ï-1 = i } dir.
( i = ï-1 ï i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.
Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 â 3i, Z3 = ï3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i ï Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = ï3 + i ï Re(Z3) = ï3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 ï Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i ï Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.
Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
Î = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
X1,2 = -b ± ïÎ = -(-2) ± ï16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 â 2i, 1 + 2i } dir.
B. İ âNİN KUVVETLERİ
iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Buna göre , n ï N olmak üzere,
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir.
Örnek:
( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 â 1) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,
(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 â 1) = (-1 â i + 1).(-i + 1 â 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.
C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.
Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 â (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }
Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 ï a = 5
2b + 3 = a + b ï 2b + 3 = 5 + b ï b = 2 dir.
Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a â 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,
a â 2 = 0 ï a =2,
a + b + 3 = 0 ï 2 + b + 3 = 0 ï b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.
D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a â bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.
Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
_
2) Z2 = ï2 - ï3i sayısının eşleniği Z2 = ï2 + ï3i,
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
_
5) Z5 = ï3 - ï2 sayısının eşleniği Z5 = ï3 - ï2 dir.
Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,
_
3 . Z â 1 = 2(4 â i)
olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.
Çözüm:
_
3 . Z â 1 = 2(4 â i)
3 . (a â bi) â 1 = 8 â 2i
3a â 1 â 3bi = 8 â 2i
olduğundan, 3a â1 = 8 ve -3b = -2 dir.
3a â 1 = 8 ï 3a = 9 ï a = 3 ve
-3b = -2 ï b = 2/3 tür.
O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
Not:
__
1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
.
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m â ni sayısıdır.
E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).
Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
ï
Z2 = c + di Z1 â Z2 = ( a â c ) + ( b â di )
Örnek:
Z1 = 2 â 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,
Z1 + Z2 = ( 2 â 10i) + ( 8 + 3i )
= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
= 10 â 7i
Z1 â Z2 = ( 2 â 10i ) â ( 8 + 3i)
= ( 2 â 8 ) + ( -10 â 3 )i
= -6 â 13i
2) Çarpma:
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.
Z1 . Z2 = ( a + bi ).( c + di)
= a.c + a.di + bi.c + b.di2 , ( i2 = -1 )
= ac â bd + ( ad + bc )i
Z1 . Z2 = ( ac â bd ) + ( ad + bc )i
_ _
Z1 . Z1 = ( a + bi).( a â bi ) ï Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.
Örnek:
Z1 = 2 â i ve Z2 = 3 + 2i olsun.
a) Z1 . Z2
_
b) Z1 . Z1
c) (Z2)2 işlemlerini yapalım.
Çözüm:
a) Z1 . Z2 =( 2 â i ) .( 3 + 2i)
= 6 + 4i â 3i â 2i2
= 6 â 2.( -1 ) + ( 4 â 3)i
= 8 + i dir.
b) Z1 . Z1 = ( 2 â i ).( 2 + i )
= 22 â i2
= 4 â ( -1)
= 5 tir.
c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
= 32 + 2.3.2i + (2i)2
= 9 + 12i â 4
= 5 + 12i dir.
Örnek:
( -1 â i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i,
( 1 â i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i,
( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i,
( 1 â i )20 = ( ( 1 â i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210
3) Bölme:
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.
Z1 a + bi ( a + bi ).( c â di ) ( ac + bd ) + ( bc â ad )i
ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾
Z2 c + di ( c + di ).( c â di ) c2 + d2
Örnek:
Z1 = 4 â 3i ve Z2 = 1 â 2i olsun.
Z1 4 â 3i ( 4 â 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i â 3i â 6i2 10 + 5i
ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ = 2 + i dir.
Z2 1 â 2i ( 1 â 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5
Not:
1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a â bi,
çarpma işlemine göre tersi,
1 1 a â bi
ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ dir.
Z a + bi a2 + b2
_ _
2) Z1 . Z2 Z1 . Z2
ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾
Z3 z3
Örnek:
3 â 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.
Çözüm:
3 â 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,
1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.
3 â 4i 32 + 42 25 25 25 25
Örnek:
1 + 2i 1 â 2i
¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 â i 1 + i
Çözüm:
1 + 2i 1 â 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 â 2i ).( 1 â i )
¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
1 â i 1 + i 12 + 12 12 + 12
( 1 + i ) ( 1 â i )
1 + i + 2i + 2i2 1-i â2i + 2i2 1 + 3i â 2 + 1 â 3i - 2
= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
2 2 2
( 1 â 2 + 1 â 2 ) + ( 3 â 3 )i -2 + 0.i
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.
2 2
Örnek:
1 â i 40
¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 + i
Çözüm:
1 â i ( 1 â i )2 -2i 1 - i 40
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.
1 + i 12 + 12 2 1 + i
F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ
GÖRÜNTÜSÜ
1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.
2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır.
3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.
Örnek:
Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,
1) Karmaşık düzlemde
2) Vektör uzayında gösterelim.
Çözüm:
1) imajiner eksen 2)
Z = 1 + 2i
2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)
0 ree eksen 0
1 1
G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y
noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
ï½zï½
mutlak değeri ( modülü ) denir ve ï½Zï½ şeklinde gösterilir. x
a
Z = a + bi ï ï½Zï½= ï a2 + b2 dir.
Örnek:
Z = 5 + 12i
karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm:
12 Z = 5 + 12i
Z = 5 + 12i ï ï½Zï½
ï½Zï½ = ï 52 + 122
= 13 tür. 0
5
Örnek:
Z = ( a + 2 ) + 3i
ï½Zï½ = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
____________
ï½Zï½= 5 ï ï( a + 2 )2 + 32 = 5 ï ( a + 2 )2 + 32 = 52 ï ( a + 2 )2 = 16
olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.
a + 2 = 4 ï a = 2 veya
a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.
a + 2 = -4 ï a = -6 dır.
H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
_ _ _
1) ï½Zï½= ï½-Zï½=ï½ Zï½=ï½-Zï½=ï½i.Zï½=ï½-i.Zï½=...
2) ï½Z1.Z2ï½= ï½Z1ï½.ï½Z2ï½
3) Z1 ï½Z1ï½
¾¾ = ¾¾ , ( Z2 â 0)
Z2 ï½Z2ï½
4) ï½Znï½ = ï½Zï½n
_
5) Z . Z = ï½Zï½2
6) ï½ï½Z1ï½ - ï½Z2ï½ï½ < ï½Z1 ± Z2ï½ < ï½Z1ï½ + ï½Z2ï½
Örnek:
3 â 3i
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ï½Zï½ = ?
1 + i
Çözüm:
3 â 3i sayısının mutlak değeri, ï 32 + 32 = 3ï2 dir.
1 + i sayısının mutlak değeri, ï12 + 12 = ï2 dir. O halde,
ï½3 â 3iï½ 3ï2
ï½Zï½ = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.
ï½1 + iï½ ï2
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
Z1 = 2 + ni
Z2 = 1 + 2i
_______
ï½Z1 + Z2ï½ = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?
Çözüm:
Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,
______
Z1 + Z2 = 3 â (n + 2)i dir.
ï½Z1 + Z2ï½ = 5 ï ï 32 + (n + 2)2 = 5 ï 32 + (n + 2)2 = 52 ï (n + 2)2 = 42 olduğundan,
n + 2 = 4 ï n = 2 veya
n + 2 = -4 ï n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2.(-6) = -12 dir.
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere ,
1 - xi
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ï½Z10ï½=?
1 + xi
Çözüm:
ï½Z10ï½ = ï½Zï½10 dur.
1 â xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan ï½1 - xiï½ = ï½1 + xiï½ dir. Buna göre,
ï½1 - xiï½
ï½Zï½ = ¾¾¾ = 1 ve ï½Zï½10 =110 = 1 dir.
ï½1 + xiï½
1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani,
ï½Z1 â Z2ï½ = ï(x1 â x2)2 + (y1 â y2)2 dir.
2) ï½Z â Z0ï½ = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.
Örnek:
A = Z : ï½Z â 4 â 3iï½ = 2, Z ⬠C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm:
Z = x + yi olsun, y
ï½Z â 4 â 3iï½ = 2 2 (x â 4)2 + (y â 3)2 = 4
3
ï½ x + yi â 4 â 3iï½= 2
ï (x â 4)2 + (y â 3)2 = 2 0 x
4
(x â 4)2 + (y â 3)2 = 22 bulunur.
Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir.
SORULAR
1) i = ï-1 olmak üzere
ï-2 . ï-8 + 1
¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun.
ï(-3)2
Çözüm:
ï-2 . ï-8 + 1 ï-1. ï2. ï-1.ï8 + 1 i. ï2.i.2ï2 + 1 4.i2 + 1 -4 + 1
¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir.
ï(-3)2 ï½-3ï½ 3 3 3
2) i = ï-1 olmak üzere,
i37 â 2i-5 + i3 soncunu bulun.
Çözüm:
i37 = (i4)9.i1 = 19.i = i ,
i-5 = i-5+8 = i3 = -i,
i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i â 2.(-i) â i = 2i
3) i2 = -1 olmak üzere,
2x2 â 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?
x3 + 1
Çözüm:
2x2 â 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,
x3 + 1
2i2 â 2i + 2 -2 â 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )
f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 â i dir.
i3 + 1 1 â i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2
4) i2 = -1 olmak üzere,
1 1
¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun.
2 â i 2 + i
Çözüm:
1 1 2 + i + 2 - i 4
¾¾ + ¾¾ =.¾¾¾¾¾ = ¾ tir.
2 â i 2 + i 22 + 12 5
( 2 + i ) (2 â i)
5) x < 0 olmak üzere,
Z = ï -x2 + 2x â1 + ï½-xï½+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Z = ï -x2 + 2x â1 + ï½-xï½+ 2x
Z = ï -1.(x â1)2 - x + 2x, (x < 0)
Z = ï-1 . ï½x - 1ï½ + x
Z = x + (1 â x)i bulunur.
Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 â x tir.
Re(Z) + İm(Z) = x + 1 â x = 1
6) i = ï-1 olmak üzere,
Z1 = a + i
Z2 = 2 â i
______
ï½Z1 â Z2ï½ = 2 olduğuna göre a = ?
Çözüm:
Z1 â Z2 = (a + i) â (2 â i) = (a â 2) + 2i
______
Z1 â Z2 = (a â 2) â 2i
______
ï½Z1 â Z2ï½= 2 ï ï(a â 2)2 + (-2)2 = 2 ï (a â 2)2 + (-2)2 = 22 ï (a â 2) 2 = 0 ï a = 2
7) i = ï-1
i + 1
¾¾¾ = 1 â i olduğuna göre Z2003 nedir?
Z
Çözüm:
i + 1 1 + i 2i
¾¾¾ = 1 â i ï Z = ¾¾ ï Z = ¾ ï Z = i .
Z 1 - i 2
(1 + i)
Z2003 = i2003 = i3 = - i
8) Z = x + yi olmak üzere,
_
(i â 1).Z +i.Z = 2 â 3i olduğuna göre, ï½Zï½ = ?
Çözüm:
_
(i â 1).Z +i.Z = 2 â 3i ï (i â 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 â 3i ï xi + y â x + yi + xi â y = 2 â3i
ï -x + (2x + y)i = 2 â 3i
-x = 2 ï x = -2 ve 2x + y = -3 ï -4 + y = -3 ï y = 1
ï Z = -2 + i ve ï½Zï½ = ï5
9) i = ï-1 ve Z = x + yi olmak üzere,
_
2.ï½Zï½ Z + Z
¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) â İm(Z) = ?
Z - Z i
Çözüm:
_
Z = x + yi ï Z = x â yi
_ _
Z + Z = 2x ve Z â Z = 2yi
ï½Zï½2 = ( ï x2 + y2 )2 = x2 + y2
ve Re(Z) â İm(z) = x â y .
_
2.ï½Zï½ Z + Z 2.ï½Zï½ 2x
¾¾¾¾ = ¾¾¾ ï ¾¾¾¾ = ¾¾ ï (x + y)2 = 0 ï x â y = 0
Z - Z i Z - Z i
10) i = ï-1 ve Z = x + yi olmak üzere,
ï½Z â 3iï½ < ï½Z + 3ï½ olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x
Çözüm:
ï½Z â 3iï½ < ï½Z + 3ï½
ï½x + yi â 3iï½ < ï½x + yi + 3ï½
ï½x + (y â 3)iï½ < ï½(x + 3) + yiï½
ïx2 + (y â 3)2 < ï (x + 3)2 + y2
x2 + (y â 3)2 < (x + 3)2 + y2
x2 + y2 â 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2
-6y < 6x
y > -x
SAYILAR
ax² + bx + c = 0 denkleminin Î < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 ï x² = -1 ) karesi â1 olan reel sayı yoktur.
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...
A. TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = ï-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C = { z : z = a + bi ; a, b ï R ve ï-1 = i } dir.
( i = ï-1 ï i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.
Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 â 3i, Z3 = ï3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i ï Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = ï3 + i ï Re(Z3) = ï3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 ï Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i ï Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.
Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
Î = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
X1,2 = -b ± ïÎ = -(-2) ± ï16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 â 2i, 1 + 2i } dir.
B. İ âNİN KUVVETLERİ
iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Buna göre , n ï N olmak üzere,
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir.
Örnek:
( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 â 1) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,
(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 â 1) = (-1 â i + 1).(-i + 1 â 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.
C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.
Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 â (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }
Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 ï a = 5
2b + 3 = a + b ï 2b + 3 = 5 + b ï b = 2 dir.
Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a â 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,
a â 2 = 0 ï a =2,
a + b + 3 = 0 ï 2 + b + 3 = 0 ï b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.
D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a â bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.
Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
_
2) Z2 = ï2 - ï3i sayısının eşleniği Z2 = ï2 + ï3i,
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
_
5) Z5 = ï3 - ï2 sayısının eşleniği Z5 = ï3 - ï2 dir.
Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,
_
3 . Z â 1 = 2(4 â i)
olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.
Çözüm:
_
3 . Z â 1 = 2(4 â i)
3 . (a â bi) â 1 = 8 â 2i
3a â 1 â 3bi = 8 â 2i
olduğundan, 3a â1 = 8 ve -3b = -2 dir.
3a â 1 = 8 ï 3a = 9 ï a = 3 ve
-3b = -2 ï b = 2/3 tür.
O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
Not:
__
1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
.
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m â ni sayısıdır.
E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).
Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
ï
Z2 = c + di Z1 â Z2 = ( a â c ) + ( b â di )
Örnek:
Z1 = 2 â 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,
Z1 + Z2 = ( 2 â 10i) + ( 8 + 3i )
= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
= 10 â 7i
Z1 â Z2 = ( 2 â 10i ) â ( 8 + 3i)
= ( 2 â 8 ) + ( -10 â 3 )i
= -6 â 13i
2) Çarpma:
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.
Z1 . Z2 = ( a + bi ).( c + di)
= a.c + a.di + bi.c + b.di2 , ( i2 = -1 )
= ac â bd + ( ad + bc )i
Z1 . Z2 = ( ac â bd ) + ( ad + bc )i
_ _
Z1 . Z1 = ( a + bi).( a â bi ) ï Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.
Örnek:
Z1 = 2 â i ve Z2 = 3 + 2i olsun.
a) Z1 . Z2
_
b) Z1 . Z1
c) (Z2)2 işlemlerini yapalım.
Çözüm:
a) Z1 . Z2 =( 2 â i ) .( 3 + 2i)
= 6 + 4i â 3i â 2i2
= 6 â 2.( -1 ) + ( 4 â 3)i
= 8 + i dir.
b) Z1 . Z1 = ( 2 â i ).( 2 + i )
= 22 â i2
= 4 â ( -1)
= 5 tir.
c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
= 32 + 2.3.2i + (2i)2
= 9 + 12i â 4
= 5 + 12i dir.
Örnek:
( -1 â i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i,
( 1 â i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i,
( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i,
( 1 â i )20 = ( ( 1 â i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210
3) Bölme:
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.
Z1 a + bi ( a + bi ).( c â di ) ( ac + bd ) + ( bc â ad )i
ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾
Z2 c + di ( c + di ).( c â di ) c2 + d2
Örnek:
Z1 = 4 â 3i ve Z2 = 1 â 2i olsun.
Z1 4 â 3i ( 4 â 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i â 3i â 6i2 10 + 5i
ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ = 2 + i dir.
Z2 1 â 2i ( 1 â 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5
Not:
1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a â bi,
çarpma işlemine göre tersi,
1 1 a â bi
ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾ dir.
Z a + bi a2 + b2
_ _
2) Z1 . Z2 Z1 . Z2
ï¾ï¾ï¾ï¾ = ï¾ï¾ï¾ï¾
Z3 z3
Örnek:
3 â 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.
Çözüm:
3 â 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,
1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.
3 â 4i 32 + 42 25 25 25 25
Örnek:
1 + 2i 1 â 2i
¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 â i 1 + i
Çözüm:
1 + 2i 1 â 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 â 2i ).( 1 â i )
¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
1 â i 1 + i 12 + 12 12 + 12
( 1 + i ) ( 1 â i )
1 + i + 2i + 2i2 1-i â2i + 2i2 1 + 3i â 2 + 1 â 3i - 2
= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
2 2 2
( 1 â 2 + 1 â 2 ) + ( 3 â 3 )i -2 + 0.i
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.
2 2
Örnek:
1 â i 40
¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 + i
Çözüm:
1 â i ( 1 â i )2 -2i 1 - i 40
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.
1 + i 12 + 12 2 1 + i
F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ
GÖRÜNTÜSÜ
1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.
2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır.
3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.
Örnek:
Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,
1) Karmaşık düzlemde
2) Vektör uzayında gösterelim.
Çözüm:
1) imajiner eksen 2)
Z = 1 + 2i
2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)
0 ree eksen 0
1 1
G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y
noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
ï½zï½
mutlak değeri ( modülü ) denir ve ï½Zï½ şeklinde gösterilir. x
a
Z = a + bi ï ï½Zï½= ï a2 + b2 dir.
Örnek:
Z = 5 + 12i
karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm:
12 Z = 5 + 12i
Z = 5 + 12i ï ï½Zï½
ï½Zï½ = ï 52 + 122
= 13 tür. 0
5
Örnek:
Z = ( a + 2 ) + 3i
ï½Zï½ = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
____________
ï½Zï½= 5 ï ï( a + 2 )2 + 32 = 5 ï ( a + 2 )2 + 32 = 52 ï ( a + 2 )2 = 16
olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.
a + 2 = 4 ï a = 2 veya
a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.
a + 2 = -4 ï a = -6 dır.
H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
_ _ _
1) ï½Zï½= ï½-Zï½=ï½ Zï½=ï½-Zï½=ï½i.Zï½=ï½-i.Zï½=...
2) ï½Z1.Z2ï½= ï½Z1ï½.ï½Z2ï½
3) Z1 ï½Z1ï½
¾¾ = ¾¾ , ( Z2 â 0)
Z2 ï½Z2ï½
4) ï½Znï½ = ï½Zï½n
_
5) Z . Z = ï½Zï½2
6) ï½ï½Z1ï½ - ï½Z2ï½ï½ < ï½Z1 ± Z2ï½ < ï½Z1ï½ + ï½Z2ï½
Örnek:
3 â 3i
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ï½Zï½ = ?
1 + i
Çözüm:
3 â 3i sayısının mutlak değeri, ï 32 + 32 = 3ï2 dir.
1 + i sayısının mutlak değeri, ï12 + 12 = ï2 dir. O halde,
ï½3 â 3iï½ 3ï2
ï½Zï½ = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.
ï½1 + iï½ ï2
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
Z1 = 2 + ni
Z2 = 1 + 2i
_______
ï½Z1 + Z2ï½ = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?
Çözüm:
Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,
______
Z1 + Z2 = 3 â (n + 2)i dir.
ï½Z1 + Z2ï½ = 5 ï ï 32 + (n + 2)2 = 5 ï 32 + (n + 2)2 = 52 ï (n + 2)2 = 42 olduğundan,
n + 2 = 4 ï n = 2 veya
n + 2 = -4 ï n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2.(-6) = -12 dir.
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere ,
1 - xi
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ï½Z10ï½=?
1 + xi
Çözüm:
ï½Z10ï½ = ï½Zï½10 dur.
1 â xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan ï½1 - xiï½ = ï½1 + xiï½ dir. Buna göre,
ï½1 - xiï½
ï½Zï½ = ¾¾¾ = 1 ve ï½Zï½10 =110 = 1 dir.
ï½1 + xiï½
1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani,
ï½Z1 â Z2ï½ = ï(x1 â x2)2 + (y1 â y2)2 dir.
2) ï½Z â Z0ï½ = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.
Örnek:
A = Z : ï½Z â 4 â 3iï½ = 2, Z ⬠C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm:
Z = x + yi olsun, y
ï½Z â 4 â 3iï½ = 2 2 (x â 4)2 + (y â 3)2 = 4
3
ï½ x + yi â 4 â 3iï½= 2
ï (x â 4)2 + (y â 3)2 = 2 0 x
4
(x â 4)2 + (y â 3)2 = 22 bulunur.
Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir.
SORULAR
1) i = ï-1 olmak üzere
ï-2 . ï-8 + 1
¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun.
ï(-3)2
Çözüm:
ï-2 . ï-8 + 1 ï-1. ï2. ï-1.ï8 + 1 i. ï2.i.2ï2 + 1 4.i2 + 1 -4 + 1
¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir.
ï(-3)2 ï½-3ï½ 3 3 3
2) i = ï-1 olmak üzere,
i37 â 2i-5 + i3 soncunu bulun.
Çözüm:
i37 = (i4)9.i1 = 19.i = i ,
i-5 = i-5+8 = i3 = -i,
i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i â 2.(-i) â i = 2i
3) i2 = -1 olmak üzere,
2x2 â 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?
x3 + 1
Çözüm:
2x2 â 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,
x3 + 1
2i2 â 2i + 2 -2 â 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )
f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 â i dir.
i3 + 1 1 â i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2
4) i2 = -1 olmak üzere,
1 1
¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun.
2 â i 2 + i
Çözüm:
1 1 2 + i + 2 - i 4
¾¾ + ¾¾ =.¾¾¾¾¾ = ¾ tir.
2 â i 2 + i 22 + 12 5
( 2 + i ) (2 â i)
5) x < 0 olmak üzere,
Z = ï -x2 + 2x â1 + ï½-xï½+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Z = ï -x2 + 2x â1 + ï½-xï½+ 2x
Z = ï -1.(x â1)2 - x + 2x, (x < 0)
Z = ï-1 . ï½x - 1ï½ + x
Z = x + (1 â x)i bulunur.
Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 â x tir.
Re(Z) + İm(Z) = x + 1 â x = 1
6) i = ï-1 olmak üzere,
Z1 = a + i
Z2 = 2 â i
______
ï½Z1 â Z2ï½ = 2 olduğuna göre a = ?
Çözüm:
Z1 â Z2 = (a + i) â (2 â i) = (a â 2) + 2i
______
Z1 â Z2 = (a â 2) â 2i
______
ï½Z1 â Z2ï½= 2 ï ï(a â 2)2 + (-2)2 = 2 ï (a â 2)2 + (-2)2 = 22 ï (a â 2) 2 = 0 ï a = 2
7) i = ï-1
i + 1
¾¾¾ = 1 â i olduğuna göre Z2003 nedir?
Z
Çözüm:
i + 1 1 + i 2i
¾¾¾ = 1 â i ï Z = ¾¾ ï Z = ¾ ï Z = i .
Z 1 - i 2
(1 + i)
Z2003 = i2003 = i3 = - i
8) Z = x + yi olmak üzere,
_
(i â 1).Z +i.Z = 2 â 3i olduğuna göre, ï½Zï½ = ?
Çözüm:
_
(i â 1).Z +i.Z = 2 â 3i ï (i â 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 â 3i ï xi + y â x + yi + xi â y = 2 â3i
ï -x + (2x + y)i = 2 â 3i
-x = 2 ï x = -2 ve 2x + y = -3 ï -4 + y = -3 ï y = 1
ï Z = -2 + i ve ï½Zï½ = ï5
9) i = ï-1 ve Z = x + yi olmak üzere,
_
2.ï½Zï½ Z + Z
¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) â İm(Z) = ?
Z - Z i
Çözüm:
_
Z = x + yi ï Z = x â yi
_ _
Z + Z = 2x ve Z â Z = 2yi
ï½Zï½2 = ( ï x2 + y2 )2 = x2 + y2
ve Re(Z) â İm(z) = x â y .
_
2.ï½Zï½ Z + Z 2.ï½Zï½ 2x
¾¾¾¾ = ¾¾¾ ï ¾¾¾¾ = ¾¾ ï (x + y)2 = 0 ï x â y = 0
Z - Z i Z - Z i
10) i = ï-1 ve Z = x + yi olmak üzere,
ï½Z â 3iï½ < ï½Z + 3ï½ olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x
Çözüm:
ï½Z â 3iï½ < ï½Z + 3ï½
ï½x + yi â 3iï½ < ï½x + yi + 3ï½
ï½x + (y â 3)iï½ < ï½(x + 3) + yiï½
ïx2 + (y â 3)2 < ï (x + 3)2 + y2
x2 + (y â 3)2 < (x + 3)2 + y2
x2 + y2 â 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2
-6y < 6x
y > -x
