- Katılım
- 17 Eyl 2008
- Konular
- 31,034
- Mesajlar
- 0
- Online süresi
- 5m 10s
- Reaksiyon Skoru
- 208
- Altın Konu
- 0
- TM Yaşı
- 17 Yıl 9 Ay 2 Gün
- Başarım Puanı
- 719
- MmoLira
- 40
- DevLira
- 0
HERAKLES Otomatik Avlı kalıcı sunucu. 19 Haziran'da açılıyor. Atius & Wizard güvencesiyle hemen kayıt ol, ön kayıt ödülleri aktif. HEMEN TIKLA!
Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir:
Tanımlanmamış terimler
Tanımlar
Türetme kuralları
Aksiyomlardır
Teoremler
Formel mantığın tanımlanmamış terimleri olarak, basit önerme (P) ve mantıksal bağlar (değil, ve, veya, eğer-ise, eğer ve ancak-ise) gösterilebilir.
Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir. Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir.
gönül isterdiki daha ayrıntılı ve güzel bi önermeler olsun ama yok
Olumsuzu [değiştir]Bir önerme âdeğilâ eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir.
Örnek: "bu gün günlerden persembe: Bu gün günlerden perşembe degil... Önermenin olumsuzudur.
Ayrılım [değiştir]İki veya daha fazla basit önermeden âveyaâ (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurulabilir.
Örnek: âBugün Arçelik veya Teletaş'tan ziyaretçiler gelecek.â
Bu örneğimizde, önermenin doğruluğunun sağlanması için Arçelik ve Teletaş'ın herhangi birinden ziyaretçilerin gelmesi yeterlidir. İkisinden de ziyaretçi gelmezse yanlış olur.
Şartlı cümle [değiştir]Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise) bağını kullanarak şartlı önermeler kurulabilir.
Örnek: âEğer yağmur yağıyor ise, hava bulutludur.â
Bazen âeğer-iseâ bağı yerine doğal dilde âgerektirirâ bağını da kullanabiliyoruz.
Örnek: âYağmurun yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir.â
Yağmur yağıyor ve hava bulutlu değil ise önerme yanlıştır. Diğer durumlarda doğrudur.
Çift şartlı önermeler [değiştir]Yine, âeğer ve ancak-iseâ bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir. Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır.
Örnek: âEğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez.â
Çikita muz u yazan ajdarın dediği gibi sen ateşsin ben barut olarakda bilinir ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.â
Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da, önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P,Q,R,S,T,K,harfleri gibi).
Şartlı cümlenin çift taraflı sağlananı çift şartlı önermedir diyebiliriz.
Doğruluk cetvelleri [değiştir]Mantıkta önermeler doğru ya da yanlış olabilir, fakat hem doğru hem yanlış olamaz. Bir önermeye yüklenen bu âdoğruâ ve âyanlışâ yüklemlerine onun âdoğruluk değeriâ denir.
Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim:
, , , ,
âDeğilâ sözcüğünün anlamından hareketle, eğer bir P önermesi doğru ise onun değillemesi, yani yanlıştır, ve bunun tersi. Mesela, P önermesi âAy dünyanın uydusudurâ cümlesi yerine geçiyorsa, bunun değillemesi olan yanlıştır.
Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi, ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur. Mesela, â3 asal sayıdır ve 2+2=5'tirâ yanlış bir bileşik önermedir.
Yine kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için bileşenlerden birinin doğru olması yeterlidir. Ayrık önermeler ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden yanlış oldugu halde yanlış sayılır.
Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir:
P Q
D D Y D D D D
D Y Y Y D Y Y
Y D D Y D D Y
Y Y D Y Y D D
D: doğru, Y: yanlış
Eşdeğerlikler
Karşıtlıklar
Totoloji
Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler âdoğruâ çıkıyorsa, bu önermesel formüle âtotolojiâ denir.
Çelişki
Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler âyanlışâ çıkıyorsa bu önermesel formüle âçelişkiâ denir.
Bazen doğruluk
Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları âdoğruâ bazıları âyanlışâ çıkıyorsa bu önermesel formüle âbazen doğruâ denir.
Tutarlılık
Bir bileşik önermeye âveâ ekiyle başka bir önerme eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme öncekiyle tutarlıdır denir.
Geçerlilik
Bir A1, A2, ..., An önerme dizisindeki bütün Aâlar doğru olduğu zaman bir B hükmü de doğru oluyorsa Bâye A1, A2, ..., An önermelerinin geçerli sonucudur denir. Geçerlilik şu şekilde gösterilir:
A1, A2, ..., An |= B.
Mantıksal İçerik
Bir bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının bütün şartların sayısına oranı ne kadar büyükse, o mantığında da aynı matematikte olduğu gibi, sabitler ve değişkenler kullanılır. Biraz önce bahsedilen "terimleri" iki sınıfa ayırabiliriz: Bireysel değişkenler, bireysel sabitler. Bireysel sabitlere örnek olarak birey olduğunu bildiğimiz varlıkları sayabiliriz: âGökhanâ, âTekirâ, âgülâ gibi. Bunlar yerine de âinsanâ, âhayvanâ, âbitkiâ kavramlarının çerçeveleri içinde olmak üzere x, y, z, değişken sembollerini kullanabiliyoruz.
Matematikte değişkenler genellikle sayılar veya fonksiyonlar olabilir. Yüklemler mantığında ise bireysel terimler değişken olabildiği gibi, yüklemler de sabit veya değişken olabilir. Yüklemsel sabitlere örnek olarak önermeler içinde yer alan yüklemleri gösterebiliriz: âsayıâ, âmeyveâ, âuyduâ, âsertâ gibi. Buna göre,
7 bir asal sayıdır.
Elma bir tür meyvedir.
Miranda, Neptün'ün uydusudur.
Demir sert bir metaldir.
...cümleleri içinde "7", "elma", "Miranda", "Neptün" ve "demir" bireysel sabitler, âasal sayı, âmeyveâ, âuyduâ ve âsert metalâ de yüklemsel sabitlerdir.
Yüklemsel ifadelerde yüklemler yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi bir veya iki terimli (veya argümanlı) olabildiği gibi, daha fazla sayıda argüman da içerebilirler. Mesela: âBeril, Akın ve Şebnem'nin önünde oturuyorâ dediğimiz zaman, burada âönünde oturuyorâ ifadesini yüklem olarak; Beril, Akın ve Şebnem isimlerini de bireysel sabitler olarak almış oluyoruz.
Yüklemsel ifadeler yüklemin aldığı terim sayısına göre şu genel biçimlerde gösterilebilirler:
P(a), Q(b,c), R(d,e,f), ...
Bu ifadelerde, hemen görülebileceği gibi, bireysel sabitler yerine x, y, z gibi değişkenler koyarsak,
P(x), Q(b,y), R(z,e,f)
...gibi değişken terimli yüklemsel ifadeler elde ederiz.
Eşdeğerlik ve karşıtlık [değiştir]A(x) yüklemsel bir formül olsun. Şu ifadeleri gözönüne alalım:
a)
b)
c)
d)
Bunları doğal dile çevirirsek:
a) Her şey A yüklemine (özelliğine) sahiptir.
b) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahiptir.
c) Hiçbir şey A yüklemine (özelliğine) sahip değildir.
d) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahip değildir.
Burada görüldüğü gibi, d, a'nın karşıtı (değillemesi), c de b'nin karşıtıdır. Şu halde, yerine kullanabiliriz, çünkü bunlar mantıksal olarak özdeştir, aynı şekilde yerine ifadesini kullanabiliriz.
Yüklemsel ifadelerde değilleme ve niceleyicilerin yeri, anlam bakımından önemlidir. Örneğin:
, âher sayı asal değildirâ anlamına gelirken,
ise âhiçbir sayı asal değildirâ anlamına gelir.
Eşdeğerlikler
Karşıtlıklar
Çözülüm Teorem İspatlama [değiştir]Çözülüm teorem ispatlama, mantık teoremlerinin ispatlanması için A. Robinson tarafından geliştirilmiş bir tekniktir. Bu tekniğin esası şudur:
Eğer âveâ bağı ile bağlı P1, ..., Pn önermelerinden bir Q önermesi dedüktif olarak çıkarılabiliyorsa, o zaman Q'nun değillemesini bu önermelere âveâ bağı ile kattığımız zaman bir çelişki elde ederiz. Sembollerle gösterecek olursak:
...çıkarımı geçerli ise,
...bir çelişkidir.
Bu yöntemin kullanılabilmesi için, P1, ..., Pn önermelerinin, eşdeğerlik dönüşümleri kullanılarak âbirleşimli normal biçimâ denilen bir biçime getirilmesi gerekir. Bu biçim sadece âdeğilâ, âveâ ve âveyaâ mantıksal bağlarını içerir.
Örnek 1:
P -> Q ~P V Q ~P V Q
P P P
------ ------ ~Q
Q Q ------
Bu örnekte şartlı önermesi yerine, eşdeğeri konulmuştur ki bu, önermesinin normal biçimidir.
Örnek 2:
A -> B ~A V B ~A V B
B -> C ~B V C ~B V C
A A A
-------- --------- ~C
C C ---------
Çözülüm teorem ispatlama yöntemi, yüklemler mantığının teorem ispatlama problemlerinde de uygulanmaktadır. Yüklemler mantığında teorem ispatı sırasında bireysel sabitlerin değişkenlerin yerine konulmasına âbirleştirmeâ denilir.
önermenin mantıksal içeriği o kadar fazladır. Çelişkinin mantıksal içeriğinden bahsedilemez (çünkü yoktur.).(-->bu durumda çelişki için mantıksal içerik 1/1 olması beklenir. buna göre ilk cümle ile bahsedilen tanım tersi olarak düşünülmesi gerekmektedir =>düzeltmedir, şayet hata yok ise siliniz?)
Yüklemler Mantığı [değiştir]Önermeler mantığının türetim kuralları matematik için yeterli olmadığı gibi gündelik dil için de yeterli değildir. Mesela, klasik mantıkta "Her asal sayı bir doğal sayıdır" ve "3 asal sayıdır" öncüllerinden, "3 doğal sayıdır" sonucunu çıkarabiliyoruz. Fakat bu akıl yürütmenin doğruluğu, önermeler mantığının kuralları çerçevesi içinde kanıtlanamaz. Bunun nedeni de şudur: Önermeler mantığı bileşik önermeler içindeki basit önermeler arasındaki mantıksal bağlara ve basit önermelerin doğruluk değerlerine göre bileşik önermelerin doğruluklarını inceler. Diğer bir deyişle, önermeler mantığı bir önermeyi birçok maksat için yeterli ayrıntıda analiz etmez.
Tanımlanmamış terimler
Tanımlar
Türetme kuralları
Aksiyomlardır
Teoremler
Formel mantığın tanımlanmamış terimleri olarak, basit önerme (P) ve mantıksal bağlar (değil, ve, veya, eğer-ise, eğer ve ancak-ise) gösterilebilir.
Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir. Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir.
gönül isterdiki daha ayrıntılı ve güzel bi önermeler olsun ama yok
Olumsuzu [değiştir]Bir önerme âdeğilâ eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir.
Örnek: "bu gün günlerden persembe: Bu gün günlerden perşembe degil... Önermenin olumsuzudur.
Ayrılım [değiştir]İki veya daha fazla basit önermeden âveyaâ (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurulabilir.
Örnek: âBugün Arçelik veya Teletaş'tan ziyaretçiler gelecek.â
Bu örneğimizde, önermenin doğruluğunun sağlanması için Arçelik ve Teletaş'ın herhangi birinden ziyaretçilerin gelmesi yeterlidir. İkisinden de ziyaretçi gelmezse yanlış olur.
Şartlı cümle [değiştir]Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise) bağını kullanarak şartlı önermeler kurulabilir.
Örnek: âEğer yağmur yağıyor ise, hava bulutludur.â
Bazen âeğer-iseâ bağı yerine doğal dilde âgerektirirâ bağını da kullanabiliyoruz.
Örnek: âYağmurun yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir.â
Yağmur yağıyor ve hava bulutlu değil ise önerme yanlıştır. Diğer durumlarda doğrudur.
Çift şartlı önermeler [değiştir]Yine, âeğer ve ancak-iseâ bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir. Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır.
Örnek: âEğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez.â
Çikita muz u yazan ajdarın dediği gibi sen ateşsin ben barut olarakda bilinir ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.â
Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da, önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P,Q,R,S,T,K,harfleri gibi).
Şartlı cümlenin çift taraflı sağlananı çift şartlı önermedir diyebiliriz.
Doğruluk cetvelleri [değiştir]Mantıkta önermeler doğru ya da yanlış olabilir, fakat hem doğru hem yanlış olamaz. Bir önermeye yüklenen bu âdoğruâ ve âyanlışâ yüklemlerine onun âdoğruluk değeriâ denir.
Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim:
, , , ,
âDeğilâ sözcüğünün anlamından hareketle, eğer bir P önermesi doğru ise onun değillemesi, yani yanlıştır, ve bunun tersi. Mesela, P önermesi âAy dünyanın uydusudurâ cümlesi yerine geçiyorsa, bunun değillemesi olan yanlıştır.
Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi, ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur. Mesela, â3 asal sayıdır ve 2+2=5'tirâ yanlış bir bileşik önermedir.
Yine kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için bileşenlerden birinin doğru olması yeterlidir. Ayrık önermeler ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden yanlış oldugu halde yanlış sayılır.
Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir:
P Q
D D Y D D D D
D Y Y Y D Y Y
Y D D Y D D Y
Y Y D Y Y D D
D: doğru, Y: yanlış
Eşdeğerlikler
Karşıtlıklar
Totoloji
Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler âdoğruâ çıkıyorsa, bu önermesel formüle âtotolojiâ denir.
Çelişki
Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler âyanlışâ çıkıyorsa bu önermesel formüle âçelişkiâ denir.
Bazen doğruluk
Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları âdoğruâ bazıları âyanlışâ çıkıyorsa bu önermesel formüle âbazen doğruâ denir.
Tutarlılık
Bir bileşik önermeye âveâ ekiyle başka bir önerme eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme öncekiyle tutarlıdır denir.
Geçerlilik
Bir A1, A2, ..., An önerme dizisindeki bütün Aâlar doğru olduğu zaman bir B hükmü de doğru oluyorsa Bâye A1, A2, ..., An önermelerinin geçerli sonucudur denir. Geçerlilik şu şekilde gösterilir:
A1, A2, ..., An |= B.
Mantıksal İçerik
Bir bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının bütün şartların sayısına oranı ne kadar büyükse, o mantığında da aynı matematikte olduğu gibi, sabitler ve değişkenler kullanılır. Biraz önce bahsedilen "terimleri" iki sınıfa ayırabiliriz: Bireysel değişkenler, bireysel sabitler. Bireysel sabitlere örnek olarak birey olduğunu bildiğimiz varlıkları sayabiliriz: âGökhanâ, âTekirâ, âgülâ gibi. Bunlar yerine de âinsanâ, âhayvanâ, âbitkiâ kavramlarının çerçeveleri içinde olmak üzere x, y, z, değişken sembollerini kullanabiliyoruz.
Matematikte değişkenler genellikle sayılar veya fonksiyonlar olabilir. Yüklemler mantığında ise bireysel terimler değişken olabildiği gibi, yüklemler de sabit veya değişken olabilir. Yüklemsel sabitlere örnek olarak önermeler içinde yer alan yüklemleri gösterebiliriz: âsayıâ, âmeyveâ, âuyduâ, âsertâ gibi. Buna göre,
7 bir asal sayıdır.
Elma bir tür meyvedir.
Miranda, Neptün'ün uydusudur.
Demir sert bir metaldir.
...cümleleri içinde "7", "elma", "Miranda", "Neptün" ve "demir" bireysel sabitler, âasal sayı, âmeyveâ, âuyduâ ve âsert metalâ de yüklemsel sabitlerdir.
Yüklemsel ifadelerde yüklemler yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi bir veya iki terimli (veya argümanlı) olabildiği gibi, daha fazla sayıda argüman da içerebilirler. Mesela: âBeril, Akın ve Şebnem'nin önünde oturuyorâ dediğimiz zaman, burada âönünde oturuyorâ ifadesini yüklem olarak; Beril, Akın ve Şebnem isimlerini de bireysel sabitler olarak almış oluyoruz.
Yüklemsel ifadeler yüklemin aldığı terim sayısına göre şu genel biçimlerde gösterilebilirler:
P(a), Q(b,c), R(d,e,f), ...
Bu ifadelerde, hemen görülebileceği gibi, bireysel sabitler yerine x, y, z gibi değişkenler koyarsak,
P(x), Q(b,y), R(z,e,f)
...gibi değişken terimli yüklemsel ifadeler elde ederiz.
Eşdeğerlik ve karşıtlık [değiştir]A(x) yüklemsel bir formül olsun. Şu ifadeleri gözönüne alalım:
a)
b)
c)
d)
Bunları doğal dile çevirirsek:
a) Her şey A yüklemine (özelliğine) sahiptir.
b) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahiptir.
c) Hiçbir şey A yüklemine (özelliğine) sahip değildir.
d) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahip değildir.
Burada görüldüğü gibi, d, a'nın karşıtı (değillemesi), c de b'nin karşıtıdır. Şu halde, yerine kullanabiliriz, çünkü bunlar mantıksal olarak özdeştir, aynı şekilde yerine ifadesini kullanabiliriz.
Yüklemsel ifadelerde değilleme ve niceleyicilerin yeri, anlam bakımından önemlidir. Örneğin:
, âher sayı asal değildirâ anlamına gelirken,
ise âhiçbir sayı asal değildirâ anlamına gelir.
Eşdeğerlikler
Karşıtlıklar
Çözülüm Teorem İspatlama [değiştir]Çözülüm teorem ispatlama, mantık teoremlerinin ispatlanması için A. Robinson tarafından geliştirilmiş bir tekniktir. Bu tekniğin esası şudur:
Eğer âveâ bağı ile bağlı P1, ..., Pn önermelerinden bir Q önermesi dedüktif olarak çıkarılabiliyorsa, o zaman Q'nun değillemesini bu önermelere âveâ bağı ile kattığımız zaman bir çelişki elde ederiz. Sembollerle gösterecek olursak:
...çıkarımı geçerli ise,
...bir çelişkidir.
Bu yöntemin kullanılabilmesi için, P1, ..., Pn önermelerinin, eşdeğerlik dönüşümleri kullanılarak âbirleşimli normal biçimâ denilen bir biçime getirilmesi gerekir. Bu biçim sadece âdeğilâ, âveâ ve âveyaâ mantıksal bağlarını içerir.
Örnek 1:
P -> Q ~P V Q ~P V Q
P P P
------ ------ ~Q
Q Q ------
Bu örnekte şartlı önermesi yerine, eşdeğeri konulmuştur ki bu, önermesinin normal biçimidir.
Örnek 2:
A -> B ~A V B ~A V B
B -> C ~B V C ~B V C
A A A
-------- --------- ~C
C C ---------
Çözülüm teorem ispatlama yöntemi, yüklemler mantığının teorem ispatlama problemlerinde de uygulanmaktadır. Yüklemler mantığında teorem ispatı sırasında bireysel sabitlerin değişkenlerin yerine konulmasına âbirleştirmeâ denilir.
önermenin mantıksal içeriği o kadar fazladır. Çelişkinin mantıksal içeriğinden bahsedilemez (çünkü yoktur.).(-->bu durumda çelişki için mantıksal içerik 1/1 olması beklenir. buna göre ilk cümle ile bahsedilen tanım tersi olarak düşünülmesi gerekmektedir =>düzeltmedir, şayet hata yok ise siliniz?)
Yüklemler Mantığı [değiştir]Önermeler mantığının türetim kuralları matematik için yeterli olmadığı gibi gündelik dil için de yeterli değildir. Mesela, klasik mantıkta "Her asal sayı bir doğal sayıdır" ve "3 asal sayıdır" öncüllerinden, "3 doğal sayıdır" sonucunu çıkarabiliyoruz. Fakat bu akıl yürütmenin doğruluğu, önermeler mantığının kuralları çerçevesi içinde kanıtlanamaz. Bunun nedeni de şudur: Önermeler mantığı bileşik önermeler içindeki basit önermeler arasındaki mantıksal bağlara ve basit önermelerin doğruluk değerlerine göre bileşik önermelerin doğruluklarını inceler. Diğer bir deyişle, önermeler mantığı bir önermeyi birçok maksat için yeterli ayrıntıda analiz etmez.
