Sinüs Teoremi

Bir üçgende her kenarın karşındaki açının sinüs değerine bölümü sabittir ve bu sabit üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir.

Sinüs Teoremi Formülü​

Aşağıda kenar uzunlukları a,b,c; iç açıları A^, B^, C^ ve çevrel çemberinin yarıçapı r olan bir ABC üçgeni vardır. Bu üçgen üzerinden sinüs teoremini uygulayalım.


asinA^=bsinB^=csinC^=2r
Yukarıdaki formülü incelersek üçgenin bir kenarını karşısında bulunan açının sinüs değerine bölersek bir katsayı çıkar ve bu katsayı hem bütün kenarlara bu işlemi uyguladığımızda çıkan sonuca hem de bu üçgenin çevrel çemberinin çapına eşit olacaktır.

Sinüs Teoremi İspatı​

Formülü ezberlediğimize göre şimdi sırada nereden bulduğumuzu öğrenmek var. Sinüs Teoremini çevrel çember ve sinüslü alan formülünden bulabiliriz.

Çevrel Çember Yöntemi İle İspat​

Aşağıda ABC üçgeni ve bu üçgenin merkezi O noktası ve yarıçapı r olan çevrel çemberi birlikte verilmiştir.

• OB ve OC yarıçaplarını çizdiğimiz zaman oluşacak olan BOC^ merkez açısı, çevrel çemberde aynı yayı gören A^ çevre açısının iki katı olacağından m(BOC^)=2.m(A^) bağıntısını kurabiliriz.
• BOC üçgeni ikizkenar üçgen olduğu için O noktasından a kenarına indirilen yükseklik hem BOC^ açısını hem de a kenarını iki eşit parçaya bölecektir. Bu bilgiler sonucunda BOH^ açısı A^ açısına eşit olacaktır.
• BOH üçgenine baktığımızda BOH^ açısının sinüsünü bulmak istersek sinBOH^=sinA^=a/2r sonucuna varırız.

Yukarıda bulduğumuz bağıntıyı düzenlersek;
sinA^=a/2r⇒asinA^=2r
Bütün kenarlara uygulanırsa yine bu bağıntıya ulaşılır.

Sinüslü Alan Formülü Yöntemi İle İspat​

Öncelikle bir ABC üçgeni için sinüslü alan formülünü vermek gerekirse;

A(ABC)=b.c.sinA^2=a.c.sinB^2=a.b.sinC^2
bağıntısını yazarız.

• Formülde paydalarda bulunan bütün 2’leri sadeleştirip hepsini a.b.c’ye bölelim.
  

  ​

  
  
  • b.c.sinA^a.b.c=a.c.sinB^a.b.c=a.b.sinC^a.b.c
• Bu aşamadan sonra sadeleştirmeleri yapalım.
  • sinA^a=sinB^b=sinC^c
• Pay ve paydaları yer değiştirirsek sinüs teoremi formülüne ulaşırız.
  • asinA^=bsinB^=csinC^

NOT: Bu yöntemde eşitliğin 2r’ye eşit olduğunu bulamıyoruz.

Sinüs Teoremi Örnekleri​

Örnek 1​

Şekildeki ABC üçgeninde; |AC|=10cm , m(BAC^)=75° , m(ABC^)=60° olduğuna göre, |AB|=x değerinin kaç cm olduğunu bulunuz.

Çözüm​

• Üçgenin iç açılarının toplamı 180° olduğu için bilinen iki açıyı toplayıp 180’den çıkartırsak üçüncü açıyı elde ederiz.
  • m(BCA^)=m(A^)=180°−(75°+60°)=45°
• Sinüs Teoremi formülünden;
  • xsinC^=10sinB^⇒xsin4^5°=10sin6^0°
  • x22=1032⇒x=1023=1063

Örnek 2​

Şekildeki ABC üçgeninde |BD|=6cm,|DC|=13cm |AB|=x,|DC|=y m(BAD^)=30°,m(DAC^)=60° olduğuna göre xy oranını bulunuz.

Çözüm​

• m(ADB^)=α diyelim.
  • O zaman m(ADC^)=180°−α olur.
• Şekildeki ABD ve ADC üçgenlerine ayrı ayrı sinüs teoremi uygularız.
• Burada sinα değerini iki farklı denklemde buluruz.
• Bulduğumuz bu değerleri birbirine eşitlersek aradığımız orantı çıkacaktır.
• ABD üçgeni :
  • xsinα=6sin30°⇒sinα=x.sin30°6
• ADC üçgeni:
  • ysin(180°−α)=13sin60°⇒sinα=y.sin60°13
• Burada sinα değerlerini bulduk artık eşitleyebiliriz.
  • x.sin30°6=y.sin60°13
  • xy=6.sin60°13.sin30°=6313