HERAKLES Otomatik Avlı kalıcı sunucu. 19 Haziran'da açılıyor. Atius & Wizard güvencesiyle hemen kayıt ol, ön kayıt ödülleri aktif. HEMEN TIKLA!
Şimdi çok basit bir denklemin Fourier açılımının denklemini görelim. Bir testere-dişi dalgası düşünün:
Bu durumda, Fourier katsayıları,
gibidir.Şu kesindir ki bu Fourier serisinin in türevinin alınabildiği tüm x değerlerinde, toplamı orijinal (x) fonksiyonuna yaklaşır ve sonunda ona eşit olur. Bundan dolayı:
x = π olduğunda, Fourier serisi 0 a eşit olur, ki bu in x = π deki sağdan ve soldan limitlerinin toplamının yarısına eşittir. Bu Fourier Serisi için Dirichlet teoreminde önemli bir noktadır.
Bakıyoruz ki Fourier serimizin açılımı (x) = x fonksiyonundan sadece azıcık daha karmaşıktır ve böyle bir serinin niçin kullanılabileceği de açıkçası hemencecik anlaşılacak bir şey değildir. Birçok uygulama alanı olmasıyla beraber biz Fourier serilerinin ısı denklemlerinin çözümündeki rolüne odaklanacağız. Örneğin, kenarları π uzunluğunda olan kare biçimindeki bir metal düşünün ve koordinatları (x, y) ∈ [0, π] × [0, π] olsun. Diyelim ki karenin 3 tarafı 0° derecede olsun ve y = π kenarı üzerinde sıcaklık denklemimiz T(x, π
= xolsun, ardından sabit/dengeye ulaşmış ısı dağılımının,
denklemindeki gibi olduğunu görürüz.Burada, sinh hiperbolik sinüs fonksiyonudur. Bu ısı denkleminin çözümü iki tarafın da Şablon:EquationNote by sinh(ny)/sinh(nπ ile çarpılmasıyla bulundu. Böyle bir denklemdeki Fourier serimiz her ne kadar basit de olsa ısı dağılımızın denklemi T(x, y) kesinlikle havadan, basit bir denklem değildir. Burada T kapalı formlu bir ifade şeklinde yazılamaz. Isı problemlerinin bu şekilde çözülebilmesi ancak Fourier'in çalışmasıyla mümkün olabilmiştir.
Fourier serilerinin bir diğer kullanım alanı da Parseval teoremi'yle Basel problem'lerinin çözümüdür. Örnek genelleşir ve ζ(2n) denklemini, n'in tüm pozitif tamsayı değerleri için çözmemiz gerekir.
gibidir.Şu kesindir ki bu Fourier serisinin in türevinin alınabildiği tüm x değerlerinde, toplamı orijinal (x) fonksiyonuna yaklaşır ve sonunda ona eşit olur. Bundan dolayı:
x = π olduğunda, Fourier serisi 0 a eşit olur, ki bu in x = π deki sağdan ve soldan limitlerinin toplamının yarısına eşittir. Bu Fourier Serisi için Dirichlet teoreminde önemli bir noktadır.
Bakıyoruz ki Fourier serimizin açılımı (x) = x fonksiyonundan sadece azıcık daha karmaşıktır ve böyle bir serinin niçin kullanılabileceği de açıkçası hemencecik anlaşılacak bir şey değildir. Birçok uygulama alanı olmasıyla beraber biz Fourier serilerinin ısı denklemlerinin çözümündeki rolüne odaklanacağız. Örneğin, kenarları π uzunluğunda olan kare biçimindeki bir metal düşünün ve koordinatları (x, y) ∈ [0, π] × [0, π] olsun. Diyelim ki karenin 3 tarafı 0° derecede olsun ve y = π kenarı üzerinde sıcaklık denklemimiz T(x, π
= xolsun, ardından sabit/dengeye ulaşmış ısı dağılımının,
ile çarpılmasıyla bulundu. Böyle bir denklemdeki Fourier serimiz her ne kadar basit de olsa ısı dağılımızın denklemi T(x, y) kesinlikle havadan, basit bir denklem değildir. Burada T kapalı formlu bir ifade şeklinde yazılamaz. Isı problemlerinin bu şekilde çözülebilmesi ancak Fourier'in çalışmasıyla mümkün olabilmiştir.Fourier serilerinin bir diğer kullanım alanı da Parseval teoremi'yle Basel problem'lerinin çözümüdür. Örnek genelleşir ve ζ(2n) denklemini, n'in tüm pozitif tamsayı değerleri için çözmemiz gerekir.
